高数 | 函数极限的计算(11月更新版)

本文主要记录关于极限的、常见的相关计算方法，后续慢慢更新。
求极限的相关思路：

判定是否为未定式？如果是，属于哪一种？
化简或变形
选择套路性方法
固定方法行不通或不便，考虑函数的相关性质与定理

以下一些常用的、套路性的方法：

等价无穷小（适用于乘除情况）
泰勒公式（适用于加减情形的等价无穷小）
洛必达法则（注意使用条件）

还有一些可以考虑使用的函数的定理与性质

拉格朗日中值定理
不等放缩，使用夹逼准则。

此外，需要通过训练与思考，以建立 “阶” 的观念，并熟练地使用一些变形技巧，和极限的运算法则。

常见的变形或化简：根式有理化，幂指恒等变形，倒代换 等。

训练方向

通过习题训练，可以增加解题经验，下面是刷题之后，建议考虑的一些“复盘点”，多思考回顾，可帮助将方法潜移默化到大脑中。

无穷小量、无穷大、阶的观念

这三个都是在 “极限的世界观” 下的术语。
我暂借用三个负号表示它们吧
o 表示无穷小，∞表示无穷大， n表示上述两个无穷量的阶。

首先，它们都是正的，可以理解为都是一个取了绝对值的量，如果非要考虑正负性，也只是在前面添加个负号，如-o -∞ -n，但是其本身务必是正的，这很重要。
其次，两个无穷量，它们都不是具体的数，不是任何实数，但是却可以用实数描述刻画。
如，无穷小量o ，比任何具体的实数小，但始终大于0，无穷大，比任何具体的实数大。
阶一般具体的实数，它一般是挂在无穷量的右上角，以次幂的形式出现，因为我们无法取到具体的无穷下，无穷大，所以我们用“阶” 衡量它们的大小。

无穷小：你抓不到的、一个无限接近于0的、正量
无穷大：你抓不到的、一个无限大的、正量
阶：刻画无穷小之间的大小，刻画无穷大之间的大小

运算法则

使用前提是： $\lim f(x) =A,\lim g(x) = B.$
即，极限存在可拆分，可分离。
在这里插入图片描述

两个重要极限

这是同济书上写的，最基础、常见的两种未定式情形。
1.
$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1 +\frac{1}{x}) ^{x}= e$

两个重要极限虽然只是两个，重要之处在于背后的思想。比如第一个背后的夹逼准则，第二个重要极限背后的广义化应用——幂指转换求极限。

求极限的方法

下面是硬菜，都是必备的、常用的、计算极限方法的方法。

等价无穷小

因为我们求极限，想求出的是一个具体的数，所以我们会将无穷小这个微小的量忽略，而什么时候可忽略（即，将之看作0），是根据阶判定的。

无穷小作为乘除的因子可以等价替换，在加减关系的一定条件下可以替换。（一定条件指的是替换后与同一分数线上的其他单项式运算结果不为 0 ）。
就比如：
sinx ~ x是一个等价无穷小的关系，但是当出现在 $\frac{sinx-x}{x^3}$ 时，不能替换，因为替换之后，分子的结果就变成了0，但实际上，并不是0，仍然是一个接近于0的无穷小量罢了。

牢记 乘除等价，加减慎用！
常用的等价无穷小，当 $x\rightarrow 0$ 时
在这里插入图片描述

泰勒公式：

等价无穷小在加减的时候，会出错，如何避免出错？这就涉及到了泰勒公式。
泰勒公式的替换，也类似于无穷小的替换，只是等价无穷小在加减的时候要慎用，但是泰勒公式可以直接用，但是展开的太长，会增加计算量，所以要考虑精度问题，展开的高阶无穷小项不能太多，也不能轻易忽略。
因此，我们根据经验，发现遵循两个原则：1. 分式上下同阶 2. 加减幂次最低。可以减少计算量，又可以保证正确率。

以下是常见的几个麦克劳林公式：
在这里插入图片描述

洛必达法则

使用前提：
（1）limf(x)=limg(x)=0(或∞)
（2）f(x)与g(x)可导
（3） $\lim \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$ 存在
那么： $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$

如果分子分母好求导，使用洛必达不失为一个好方法。

洛必达法则通常用来求不定式： $\frac{0}{0}$ 与 $\frac{\infty}{\infty}$ 可以联系斜率为0和 $\infty$ 时的切线与割线的关系进行理解。对于其他形式， $\cdot \infty ，\infty+\infty，1^{\infty}…$ 等，可以通过通分，取指数等方式转化成不定式。

思考函数本身

上述的方法穷尽了，算起来还是比较麻烦，或者说，想寻找某些简单的方法，这就要回归到函数本身了。
当然，其实上述的方法也是函数上的一些定理，只不过我们根据针对“求极限” 这个场景进行了套路化思路的总结。

拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足：
（i）在闭区间上[a,b]连续;
（ii）在开区间(a,b)上可导；
那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f’(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

数学语言表达则是：
拉格朗日中值定理
这意味着什么，意味着，我们可以将有相同壳的、两个函数相减的形式，转化成一个壳的导数，再补上区间长度。
而这个时候，我们却引入了一个新的变量ξ，自变量多了，一般我们不好处理，所以使用方法需要有一定的游戏理解，额，解题理解。
极限情形下的，这个ξ有个特点，它一般是依赖于自变量x的，与它同一个趋向。，这就方便我们进行操作了

举例如下：
有同一个壳arctan，补上的区间长度为1，其中，ξ是与∞同阶且等价的量。
拉中定理解极限

数列极限

海涅定理（归结原则）

定理：

数列是离散的，使用归结原则可以将数列转化成连续的函数进行求极限。

单调有界准则

主要步骤：

有界性：数学归纳法，借助不等式
单调性：做差法，作商法，递推求导
求极限：设常数 A ，代入递推公式求解。
一般思路是先假定极限存在，求出极限值，这个 “极限值” 有的时候会帮助自己证明有界性，证明有界性之后，证明单调性，求出极限。

夹逼准则

积累常见的放缩经验，常见的不等式。

求和数列的极限

考虑使用定积分的定义，通常 a取0，b取1 。
在这里插入图片描述
待续。。。

History

--------------24.08.02--------------
进行了数列极限的补充

--------------24.11.14--------------
补充了拉格朗日定理，阶、无穷量的概念。
后续待更新：讨论正负情形的易错点