高数 | 函数极限的计算(11月更新版)

高数 | 函数极限的计算(11月更新版)求极限的一些方法及思想 重要极限 等价无穷小 泰勒公式 洛必达等 无穷小量 阶的观念

本文主要记录关于极限的、常见的相关计算方法,后续慢慢更新。
求极限的相关思路:

  1. 判定是否为未定式?如果是,属于哪一种?
  2. 化简或变形
  3. 选择套路性方法
  4. 固定方法行不通或不便,考虑函数的相关性质与定理

以下一些常用的、套路性的方法:

  1. 等价无穷小(适用于乘除情况)
  2. 泰勒公式(适用于加减情形的 等价无穷小)
  3. 洛必达法则(注意使用条件)

还有一些可以考虑使用的函数的定理与性质

  1. 拉格朗日中值定理
  2. 不等放缩,使用夹逼准则。

此外,需要通过训练与思考,以建立 “阶” 的观念,并熟练地使用一些变形技巧,和极限的运算法则。

常见的变形或化简:根式有理化,幂指恒等变形,倒代换 等。

训练方向

通过习题训练,可以增加解题经验,下面是刷题之后,建议考虑的一些“复盘点”,多思考回顾,可帮助将方法潜移默化到大脑中。

无穷小量、无穷大、阶的观念

这三个都是在 “极限的世界观” 下的术语。
我暂借用三个负号表示它们吧
o 表示无穷小,表示无穷大, n表示上述两个无穷量的阶。

首先,它们都是正的,可以理解为 都是一个取了绝对值的量,如果非要考虑正负性,也只是在前面添加个负号,如-o -∞ -n,但是其本身务必是正的,这很重要。
其次,两个无穷量,它们都不是具体的数,不是任何实数,但是却可以用实数描述刻画。
如,无穷小量o ,比任何具体的实数小,但始终大于0,无穷大,比任何具体的实数大。
阶一般具体的实数,它一般是挂在无穷量的右上角,以次幂的形式出现,因为我们无法取到具体的无穷下,无穷大,所以我们用“阶” 衡量它们的大小。

无穷小:你抓不到的、一个无限接近于0的、正量
无穷大:你抓不到的、一个无限大的、正量
阶:刻画无穷小之间的大小,刻画无穷大之间的大小

运算法则

使用前提是: lim ⁡ f ( x ) = A , lim ⁡ g ( x ) = B . \lim f(x) =A,\lim g(x) = B. limf(x)=A,limg(x)=B.
即,极限存在可拆分,可分离。
在这里插入图片描述

两个重要极限

这是同济书上写的,最基础、常见的两种未定式情形。
1.
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x} = 1 x0limxsinx=1

  1. lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1 +\frac{1}{x}) ^{x}= e xlim(1+x1)x=e

两个重要极限虽然只是两个,重要之处在于背后的思想。比如第一个背后的夹逼准则,第二个重要极限背后的 广义化应用——幂指转换求极限

求极限的方法

下面是硬菜,都是必备的、常用的、计算极限方法的方法。

等价无穷小

因为我们求极限,想求出的是一个具体的数,所以我们会将无穷小这个微小的量忽略,而什么时候可忽略(即,将之看作0),是根据阶判定的。

无穷小作为乘除的因子可以等价替换,在加减关系的一定条件下可以替换。(一定条件指的是替换后与同一分数线上的其他单项式运算结果不为 0 )。
就比如:
sinx ~ x是一个等价无穷小的关系,但是当出现在 s i n x − x x 3 \frac{sinx-x}{x^3} x3sinxx时,不能替换,因为替换之后,分子的结果就变成了0,但实际上,并不是0,仍然是一个接近于0的无穷小量罢了。

牢记 乘除等价,加减慎用!
常用的等价无穷小,当 x → 0 x\rightarrow 0 x0
在这里插入图片描述

泰勒公式:

等价无穷小在加减的时候,会出错,如何避免出错?这就涉及到了泰勒公式。
泰勒公式的替换,也类似于无穷小的替换,只是等价无穷小在加减的时候要慎用,但是泰勒公式可以直接用,但是展开的太长,会增加计算量,所以要考虑精度问题,展开的高阶无穷小项不能太多,也不能轻易忽略。
因此,我们根据经验,发现遵循两个原则:1. 分式上下同阶 2. 加减幂次最低。 可以减少计算量,又可以保证正确率。

以下是常见的几个麦克劳林公式:
在这里插入图片描述

洛必达法则

使用前提:
(1)limf(x)=limg(x)=0(或∞)
(2)f(x)与g(x)可导
(3) lim ⁡ f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} limg(x)f(x) 存在
那么: lim ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} limg(x)f(x)=limg(x)f(x)

如果分子分母好求导,使用洛必达不失为一个好方法。

洛必达法则通常用来求不定式: 0 0 \frac{0}{0} 00 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} 可以联系斜率为0和 ∞ \infty 时的切线与割线的关系进行理解。对于其他形式, 0 ⋅ ∞ , ∞ + ∞ , 1 ∞ … 0 \cdot \infty ,\infty+\infty,1^{\infty}… 0+1等,可以通过通分,取指数等方式转化成不定式。

思考函数本身

上述的方法穷尽了,算起来还是比较麻烦,或者说,想寻找某些简单的方法,这就要回归到函数本身了。
当然,其实上述的方法也是函数上的一些定理,只不过我们根据针对“求极限” 这个场景进行了 套路化思路的总结。

拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足:
(i)在闭区间上[a,b]连续;
(ii)在开区间(a,b)上可导;
那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f’(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

数学语言表达则是:
拉格朗日中值定理
这意味着什么,意味着,我们可以将有相同壳的、两个函数相减的形式,转化成一个壳的导数,再补上区间长度。
而这个时候,我们却引入了一个新的变量ξ,自变量多了,一般我们不好处理,所以使用方法需要有一定的游戏理解,额,解题理解。
极限情形下的,这个ξ有个特点,它一般是依赖于自变量x的,与它同一个趋向。,这就方便我们进行操作了

举例如下:
有同一个壳arctan,补上的区间长度为1,其中,ξ是与同阶且等价的量。
拉中定理解极限

数列极限

海涅定理(归结原则)

定理:

数列是离散的,使用归结原则可以将数列转化成连续的函数进行求极限。

单调有界准则

主要步骤:

  1. 有界性:数学归纳法,借助不等式
  2. 单调性:做差法,作商法,递推求导
  3. 求极限:设常数 A ,代入递推公式求解。
    一般思路是先假定极限存在,求出极限值,这个 “极限值” 有的时候会帮助自己证明有界性,证明有界性之后,证明单调性,求出极限。

夹逼准则

积累常见的放缩经验,常见的不等式。

求和数列的极限

考虑使用定积分的定义,通常 a取0,b取1 。
在这里插入图片描述
待续。。。

History

--------------24.08.02--------------
进行了数列极限的补充

--------------24.11.14--------------
补充了拉格朗日定理,阶、无穷量的概念。
后续待更新:讨论正负情形的易错点

编程小号
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