一. 实数

数学分析是研究建立在实数域($R$)上函数关系的学科，数域的是一个不断扩充的发展 自然数$N$ $\Rightarrow$ 整数$Z$ $\Rightarrow$ 有理数$Q$ $\Rightarrow$ 实数$R$，当然后面还有复数$C$。无论是自然数，整数，有理数在数轴上都是不连续的，形象的说法就是有好多的"洞"；扩充到实数的时候，实数可以保证在数轴上是连续的，形象的说法就是没有"洞"
实数的相关理论还是挺复杂，以我目前的学识还不足以说明，感兴趣的读者可以参考《陶哲轩实分析》的第一章到第六章，或者参考《实数的构造理论》(书本内容比较老，0还不是自然数)

1.1 $\sqrt{2}是无理数$

有理数被定义为$(p,q)=1，且q\ne 0$。p和q是最简分数。
证明$\sqrt{2}$是无理数，这里采用反证法。
证明：假设$\sqrt{2}$是有理数。$\sqrt{2}=\frac{p}{q}，(p,q)=1,q\ne 0$。两边平方后$2p^2=q^2$。这个式子表明q有约数2。并且是一个偶数。令$q=2k$，则得到$p^2=2k^2$，这时候p也是偶数，同时p有约数2。这意味这p和q都有公约数2。不符合有理数定义，所以假设不成立，也就是说$\sqrt{2}是无理数$。
以上的关于$\sqrt{2}$是无理数的证明方法，算是非常经典的反证法了。

二 确界

确界定理是一个相当重要的定理，它可以保证实数的连续性。最重要的是对于极限的运算是封闭的。

2.1 最大数定义

设$S$是一个非空数集，存在$\xi \in S$，对于任意的$x\in S$都有$x\le \xi$，则称$\xi$是S的最大数

2.2 最小数定义

设$S$是一个非空数集，存在$\eta \in S$，对于任意的$x\in S$都有$x\ge \eta$，则称$\eta$是S的最大数

2.3 上界定义

设$S\subseteq \mathbb{R}$是一个非空数集，存在$M\in \mathbb{R}$，对于任意的$x\in S$都有$x\le M$，则称$M$是S的一个上界

2.4 下界定义

设$S\subseteq \mathbb{R}$是一个非空数集，存在$m\in \mathbb{R}$，对于任意的$x\in S$都有$x\ge m$，则称$m$是S的一个下界
通过定义可知，最大(小)数和上(下)界的一个区别是，最大(小)数是在集合S中，上(下)界则不一定在集合S中。

2.5 上确界

上确界可以定义为由所有上界构成的集合中最小的一个。
设$S\subseteq \mathbb{R}$是一个非空数集，存在$\beta \in \mathbb{R}$，$\beta$作为S的上确界满足以下两个条件：
(1)$\beta$是上界。即对于任意的$x\in S$都有$x\le \beta$
(2)对于任意的$ϵ>0$，存在$x\in S$，都有$x>\beta -ϵ$

2.6 下确界

下确界可以定义为由所有下界构成集合中最大的一个。
设$S\subseteq \mathbb{R}$是一个非空数集，存在$\alpha \in \mathbb{R}$，$\alpha$作为S的下确界满足以下两个条件：
(1)$\alpha$是下界。即对于任意的$x\in S$，都有$x\ge \alpha$
(2)对于任意的$ϵ>0$，存在$x\in S$，都有$x<\alpha +ϵ$

三 确界存在定理

定理如下：
非空有上界的数集必定有上确界，非空有下界的数集必定有下确界
注意该定理只描述了存在性。

3.1 证明确界存在定理

书上的证明思想主要是不断构造实数，再证明这个最终被构造的实数是上确界。

第一步：证明准备

设S是一个非空数集($S\subseteq \mathbb{R}$)，那么S中的实数可以表示成这样$x=[x]+(x)$，$[x]$表示实数的整数部分，$(x)$表示实数的非负小数部分。
那么集合可以表示为:
{ x ∣ x = α 0 + 0. α 1 α 2 α 3 α 4 ⋅ ⋅ ⋅ α n ⋅ ⋅ ⋅ , x ∈ R } \{x | x = \alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4···\alpha_n···,x \in \mathbb{R}\} { x∣x=α0​+0.α1​α2​α3​α4​⋅⋅⋅αn​⋅⋅⋅,x∈R}

第二步：构造上确界$\beta$

考虑一个集合$S_0$，$S_0\subseteq S$，$S_0$的素是由S集合中整数部分最大的实数组成(由于集合$S$有上界)，可以表示为：

S 0 = { x ∣ x ∈ S , α 0 = [ x ] , 且 α 0 为 S 中 整 数 部 分 最 大 的 实 数 } S_0=\{x| x \in S,\alpha_0 = [x],且\alpha_0为S中整数部分最大的实数\} S0​={ x∣x∈S,α0​=[x],且α0​为S中整数部分最大的实数}
$S_0$集合有两个特性：
(1)$S_0\subseteq S$
(2)$存在x，x\in S，x\notin S_0，有x<{\alpha }_0$

S 1 = { x ∣ x ∈ S 0 , S 0 中 小 数 部 分 第 1 位 小 数 最 大 的 实 数 } S_1=\{x| x \in S_0,S_0中小数部分第1位小数最大的实数\} S1​={ x∣x∈S0​,S0​中小数部分第1位小数最大的实数}
$S_1$集合有两个特性：
(1)$S_1\subseteq S_0$
(2)$存在x，x\in S，x\notin S_1，有x<{\alpha }_0+0.{\alpha }_1$

S 2 = { x ∣ x ∈ S 1 , S 1 中 小 数 部 分 第 2 位 小 数 最 大 的 实 数 } S_2=\{x| x \in S_1,S_1中小数部分第2位小数最大的实数\} S2​={ x∣x∈S1​,S1​中小数部分第2位小数最大的实数}
$S_2$集合有两个特性：
(1)$S_2\subseteq S_1$
(2)$存在x，x\in S，x\notin S_2，有x<{\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2$

S 3 = { x ∣ x ∈ S 2 , S 2 中 小 数 部 分 第 3 位 小 数 最 大 的 实 数 } S_3=\{x| x \in S_2,S_2中小数部分第3位小数最大的实数\} S3​={ x∣x∈S2​,S2​中小数部分第3位小数最大的实数}
$S_3$集合有两个特性：
(1)$S_3\subseteq S_2$
(2)$存在x，x\in S，x\notin S_3，有x<{\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3$
$...$
$...$
$...$
S n = { x ∣ x ∈ S n − 1 , S n − 1 中 小 数 部 分 第 n 位 小 数 最 大 的 实 数 } S_n=\{x| x \in S_{n-1},S_{n-1}中小数部分第n位小数最大的实数\} Sn​={ x∣x∈Sn−1​,Sn−1​中小数部分第n位小数最大的实数}
$S_n$集合有两个特性：
(1)$S_n\subseteq S_{n-1}$
(2)$存在x，x\in S，x\notin S_n，有x<{\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3\cdot \cdot \cdot {\alpha }_n$
$...$
$...$
$...$
这样的选取可以一直持续下去，得到${\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3\cdot \cdot \cdot {\alpha }_n\cdot \cdot \cdot$
记做$\beta$

第三步：证明$\beta$是上界：

(1)$x\in S，存在n_0，x\notin S_{n0}，有x<{\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3\cdot \cdot \cdot {\alpha }_{n0}$
立即得到如下不等式：
$$x<{\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3\cdot \cdot \cdot {\alpha }_{n0}\le \beta$$
(2)对于任意的n，$x\in S_n$有$x=\beta$
$$\Downarrow$$
$$x\le \beta$$

第四步：证明$\beta$是上确界

根据定义$ϵ$可以任意取，存在$n_0$，有$$ϵ>\frac{1}{10^{n_0}}$$
可以推出如下不等式：$$\beta -x_{n0}\le \frac{1}{10^{n_0}}<ϵ$$
$$\Downarrow$$
$$\beta -x_{n0}<ϵ$$
$$\Downarrow$$
$$x_{n0}>\beta -ϵ$$
到这一步就可以证明构造出来的$\beta$是最小上界，即上确界。那么确界定理得证。