1. 实数
实数由有理数和无理数构成，其中有理数可以使用 p q \frac{p}{q} qp( p p p, q q q为整数且 q ≠ 0 q\neq 0 q=0)
实数的性质：
- 实数集 R R R对四则运算是封闭的；
- 实数是有序的，可以比较大小；
- 实数的大小关系有传递性；
- 实数有阿基米德( A r c h i m e d e s Archimedes Archimedes)性，也叫可度量性，对 b > a > 0 , ∃ n ∈ R , n a > b b>a>0, \exists n \in R, na>b b>a>0,∃n∈R,na>b ；
- 实数具有稠密性，任意两个不相等的实数之间一定有另一个实数；
- 实数和数轴上的点是唯一对应的；
三角形不等式： ∣ a ∣ − ∣ b ∣ ≤ ∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ |a|-|b|\leq |a \pm b| \leq |a| + |b| ∣a∣−∣b∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
R R R中有两类重要的数集：区间和邻域；
区间有开区间，闭区间，半开半闭区间； [ a , b ] , [ a , b ) , ( a , b ) [a,b], [a,b),(a,b) [a,b],[a,b),(a,b)；
邻域有左邻域，右邻域，空心邻域；
- 点 a a a的邻域： U ( a ; δ ) = { x ∣ ∣ x − a ∣ < δ } = ( a − δ , a + δ ) U(a;\delta)=\{x||x-a|<\delta\}=(a-\delta,a+\delta) U(a;δ)={ x∣∣x−a∣<δ}=(a−δ,a+δ)
- 点 a a a的空心邻域： U o ( a ; δ ) = { x ∣ 0 < ∣ x − a ∣ < δ } U^o(a;\delta)=\{x|0<|x-a|<\delta\} Uo(a;δ)={ x∣0<∣x−a∣<δ}
- 点 a a a的左邻域： U + ( a ; δ ) = [ a , a + δ ) U_+(a;\delta)=[a,a+\delta) U+(a;δ)=[a,a+δ)
确界分为上界和下界，若数集既有上界又有下界则称为有界集，反之则称为无界集；
数 η \eta η称为数集 S S S的上确界，记作 η = s u p S \eta=sup~S η=sup S
- ∀ x ∈ S , x ≤ η \forall x \in S, x \leq \eta ∀x∈S,x≤η
- ∀ α < η , ∃ x 0 ∈ S , x 0 > α \forall \alpha < \eta, \exists x_0 \in S, x_0>\alpha ∀α<η,∃x0∈S,x0>α
数 ξ \xi ξ称为数集 S S S的下确界，记作 ξ = i n f S \xi=inf~S ξ=inf S
确界定理：设 S S S是非空数集，若 S S S有上界，则一定有上确界
狄利克雷( D i r i c h l e t Dirichlet Dirichlet)函数：
D ( x ) = { 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R − Q \begin{align} D(x)= \begin{cases} 1, \quad &x \in Q \\ 0, \quad &x \in R-Q \end{cases} \end{align} D(x)={
1,0,x∈Qx∈R−Q
黎曼( R i e m a n n Riemann Riemann)函数在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上是可积的：
有界函数指的是函数的值域是有界的，既要有上界也要有下界；
函数的单调性： ≤ , ≥ \leq, \geq ≤,≥ 单调； < > <> <> 严格单调；原函数严格增减则反函数也严格增减；
今天的文章 chapter 1 实数集与函数分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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