狄拉克函数及其基本性质

编程基础 • 2024-12-15 11:17 • 阅读 10

狄拉克函数其实是一种广义函数，有关广义函数的更多内容，可以参考施瓦兹大佬亲笔写的《广义函数论》，很精彩。

定义由狄拉克给出：
$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, dt = 1$ $\delta(t) = 0 , t \ne 0$

筛选性
- $x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0)$
- $x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t)$
- $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0)\, dt = x(t_0)$
- $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t)\, dt = x(0)$
偶函数： $\delta(-t) = \delta(t)$
尺度变换： $\delta(at) = \frac{1}{\vert a \vert}\delta(t)$
卷积特性： $\delta(t-t_0) = x(t-t_0)$
对任意函数 $f (t)$ ，都有 $\delta(f(t)) = \sum_i\frac{1}{\vert f^\prime(t_i) \vert}\delta(t-t_i)$ 其中 $t_i$ 为 $f (t)$ 的零点。
与阶跃函数 $u (t)$ 的关系： $\int_{\infty}^t \delta(\tau)\,d\tau= u(t)$ $\frac{d}{dt}u(t) = \delta(t)$
注意，同一时刻出现的单位冲激、高阶冲激（二阶导以上的）间的乘积，如 $\delta^2(t)$ ， $\delta(t)\delta^\prime(t)$ 等，都没有意义。

$\delta^\prime(t)$ 的面积为0： $\int_{-\infty}^{\infty} \delta^\prime(t)\, dt = 0$
筛选性：
- $x(t)\delta^\prime(t) = x(0)\delta^\prime(t) - x^\prime(0)\delta(t)$
- $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta^\prime(t)\, dt = -x^\prime(0)$
- $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta^\prime(t - t_0)\, dt = -x^\prime(t_0)$
奇函数： $\delta^\prime(-t) = -\delta^\prime(t)$
尺度变换： $\delta^\prime(at) = \frac{\delta^\prime(t)}{a\vert a \vert}$

这一条是上面两条的推广，当阶次提高到 $k$ ，性质如下（ $\delta^{(k)}(t)$ 表示 $\delta(t)$ 的 $k$ 阶导数）：

筛选性： $\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{(k)}(t)x(t)\, dt = (-1)^kx^k(0), k\geq0$
奇偶性： $\delta^{(k)}(t) = (-1)^k\delta^{(k)}(-t)$ ，这表明，若 $k$ 为奇数，则 $\delta^{(k)}(t)$ 为奇函数，否则为偶函数。
$\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{(k)}(t)\, dt = 0, k\geq1$
若 $x (t)$ 的 $k$ 阶导数在 $t = 0$ 处连续，则 $x(t)\delta^{(k)}(t) = \sum_{m=0}^k(-1)^mC_k^mx^{(m)}(0)\delta^{(k-m)}(t), k\geq0$
$x(t)*\delta^{(k)}(t-t_0) = x^{(k)}(t-t_0)$ ，当 $k = - 1$ 时，就变成了 $\int_{-\infty}^tx(\tau)\,d\tau$

今天的文章狄拉克函数及其基本性质分享到此就结束了，感谢您的阅读。