第一次写文章，文笔不好见谅╮(╯﹏╰)╭
东西有点多，阅读需要花点时间。。。。
写在前面：目录
1.圆锥曲线硬解定理
2.圆锥曲线硬解定理的相关推论
3.一些小题常用结论
4.阿基米德三角形及其证明（文化背景）
5.蒙日圆及其证明方法（文化背景）
1.硬解定理又称(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)
：目的在于帮助计算不好的童鞋解决计算问题，以及爱上圆锥曲线~(≧▽≦)/~
首先对于椭圆
和直线
交于a，b两点
联立二者有
注意到
,
因此易得
,
同理也有
（推导交给你们了）
我们可以观察到，所有的分母都是一样的，便于记忆，且公式有很好的对称性
当然，口算大佬当我没说emm。。。
这样的话，同样也可以得到弦长公式，以及一系列好玩的东西
由弦长公式
可得
也即
而
,在圆锥曲线大题中，我们往往要用到
来说明有两个交点，而前面一部分恒大于0，于是
我们可以直接有
,就很简便了
同样的，我们常常遇到一系列计算三角形的面积定值，最值问题
如
要求
的面积（随便举的一个例子，不要真去求哈）
1.我们通常会用到
而
带入易得
2.也可用点到直线距离+弦长公式解决
3.有关矩阵
二阶矩阵行列式算法如下：
此法可以用来计算平行四边形面积及其三角形面积
如要计算上图三角形ABC面积
只需知道其中两个向量，如，
和
(前提是同端点开始）
若
，
则
平行四边形的话只要把二分之一去掉就可以
其实我们同样也可以得到
于是总结一下
椭圆
和直线
交于a，b两点
有
,
,
，常用 等效
1.对于向量
，
围成的三角形
2.
此也可用于三角形面积计算
3.小题相关结论
1.有关一个椭圆的斜率乘积模型
①在椭圆
上有动点
，
分别为椭圆的左右顶点。
则有
上有动点
，过原点的直线
交椭圆于
。
则有
，直线
交椭圆于
，且
为
中点，
为坐标原点。则有
，直线
与椭圆相切于点
，
为坐标原点。
则有
证明可以尝试仿射变换，有兴趣的可以自己去试试。2.焦点三角形面积结论
椭圆
，
为椭圆上一点，
分别为椭圆的左右焦点，
，则有
证明由
注意到余弦定理
再由性质
及其半角公式
可知
同理双曲线也有
(证明本质上和上面一样）
3.一个神级离心率通用结论
若有一个椭圆，双曲线，抛物线，有一个与x轴夹角为
的直线过焦点
，用椭圆举个例子
且与之交于
,
两点，且有
则有
,用这个可以直接秒掉一大堆模拟题
注意：当为抛物线时，
鉴于阿基米德三角形和蒙日圆已经有人写啦~，我就不发了（其实是因为懒）
在这里提供一下基本思路和性质
4.阿基米德三角形
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
阿基米德三角形，在全国卷中多次以背景出现过（如2019全国二21题），要引起足够的重视。
图中
即为阿基米德三角形
性质1、
点必在抛物线的准线上
（和AB必过F点等价）
性质2、
为直角三角形，且
为直角
性质3、
证明1.可通过设切线（隐函数求导）
证明2.
设
，过P点直线设为：
由于是相切，于是用
得到关于
的表达式，再用韦达定理得到
即可
证明3.直接用
即可
5.蒙日圆
椭圆的两条切线互相垂直,则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆。
蒙日圆曾经也是多次在地方卷当中出现，还没有在全国卷当中出现，但是在2020年的高考数学样卷中出现过2次，也要留意。
对于一个椭圆
，蒙日圆的轨迹方程为
证明可采用
方法一（也是最简单的）
设
，过P点直线设为：
由于是相切，直接用上面的等效
再由韦达定理，得到
即可得到蒙日圆方程
方法二：仿射变换
对椭圆变换
，
后， 椭圆变为单位圆
因为原斜率分别为
，
，
之后有
，
，
设动点
利用点到直线距离等于r（或联立），得到一个关于
的方程
由韦达定理：
化简有
又因为P为动点故
可变为一般形式
且在原坐标系中有
，
，所以在原坐标系中
轨迹方程为
方法三：向量点乘
利用
,挺复杂的，可以试试
总结一下：
4和5的思路其实本质上都是利用两变量变一，通过
来得到关于斜率关系，垂直关系通过
表示，最终得证。
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