混凝土塑性损伤模型

本文对素混凝土和钢管混凝土的塑性损伤（CDP）模型的概念做了整理。加深使用者的概念理解以及为文章发表提供一些素材。以下是完整版的部分复制粘贴，全文一共9页，共5454字。具体完整版可至链接：https://m.tb.cn/h.gSMVwia?tk=DzdB30zO1J0 CZ0015 

混凝土塑性损伤模型是基于拉、压各向同性塑性的连续线性损伤模型，用于描述混凝土的非线性行为。采用通用有限分析软件ABAQUS/Standard分析，在此软件中的混凝土塑性损伤模型具有以下特点：

1. 适于各种单（梁、杆、壳、实体）的混凝土或其他类似的脆性材料的模拟，用于壳时，沿厚度方向的积分点数达到9个通常可以保证计算的准确性；

2. 虽然它主要致力于钢筋混凝土结构的分析，但可以用于素混凝土；

3. 可用“rebar”选项模拟混凝土中的钢筋；

4. 适于低围压下混凝土单调、往复和动力荷载下的计算；

5. 是非相关多轴硬化塑性和各向同性线性损伤模型的综合，用于描述由于混凝土断裂引 起的不可恢复的损伤；

6. 允许循环加载过程中用户对于刚度恢复进行控制；

7. 可定义与应变速率的相关性；

8. 应用粘性系数修正，可提高软化阶段的收敛效率；

9. 要求材料的弹性行为应为各向同性且为线性的。

1 线性损伤模型与塑性模型

本节简要介绍构成混凝土塑性损伤模型的线性损伤模型与塑性模型(Hibbitt等，2003)。

1. 1. 线性损伤模型

混凝土塑性损伤模型包括混凝土受拉开裂和压碎两种破坏机制，分别由等效拉压塑性应变决定。单轴应力-应变关系转变为应力与塑性应变的曲线。当混凝土自应力-应变关系曲线软化段上一点卸载，其弹性模量因混凝土的损伤而有退化，退化程度由两个损伤系数dt、dc来衡量，它们是塑性应变、温度等的函数。

若E0代表材料的初始弹性模量，混凝土的单轴应力-应变关系可以表示为

定义有效拉应力和压应力，并以此作为屈服面和破坏面的确定依据：

       在单轴往复荷载作用下，弹性模量的退化与标量刚度退化系数d有关：

       d与损伤系数dt、dc和刚度恢复系数st、sc有关，其中：

ωt、ωc为材料性质的权，控制往复荷载作用下材料抗拉与抗压刚度的恢复。

       在三维多轴受力情况下，应力-应变关系用以下标量弹性损伤方程来表示：

D0 el为初始弹性矩阵。

刚度退化系数d对于多轴应力的情况，应采用以下的替换计算

σ（i=1,2,3）为主应力，<x>=0.5(|x|+x)。

       ABAQUS里*CONCRETE COMPRESSION HARDENING模块定义混凝土材料受压时的应力-塑性应变关系。*CONCRETE TENSION STIFFENING模块定义混凝土材料拉伸断裂软化行为，可选择定义开裂后的应力-应变关系或根据断裂能量准则进行定义。研究表明，尺寸效应与虚拟网格尺寸敏感度一样，会出现在因应变软化而破坏的所有结构，包括由于压缩或剪切造成的混凝土破坏。以往在含有应变软化本构模型的有限分析中，网格尺寸敏感度问题在文献中很少报道，主要因为很少利用应变空间的塑性公式或损伤力学公式来 进行有限计算。定义开裂后的应力-应变关系，对于素混凝土计算应考虑网格尺寸的影响， 特别是对于局部裂缝开展的情况，随着网格的细化计算结果并不收敛于唯一值，因为网格的细化不能使新的裂缝产生，只是使裂缝的开展更细窄。采用弥散裂纹方式（即假设裂纹在某一区域内均匀分布）则不需考虑网络尺寸的影响。由于单位长度裂缝局部造成的能量耗散是一种与单尺寸无关的材料性质，基于这个概念，能正确地模拟在拉伸断裂中的应变软化，并解决网格尺寸敏感度的问题。

1. 1. 塑性模型

混凝土塑性行为的描述必须包括三个基本假定：在应力空间存在一个初始屈服面和一个破坏面——分别定义弹性区域边界和加工强化区域边界；强化法则——定义了在塑性流动过程中加载面的变化和材料强化特性的变化；流动法则——与塑性势函数有关，由它导出增量形式的塑性应力-应变关系。

如前所述，混凝土屈服面和破坏面是基于混凝土有效应力确定的，根据混凝土有效应力可得到两个应力不变量，静水压力：

和Mises方程有效应力：

其中，S是有效应力偏量。

       混凝土塑性损伤模型采用非相关流动法则，塑性势能方程采用的是Drucker-Prager双曲函数：

其中， ψ为膨胀角；

为破坏时的单轴拉应力；

为塑性势能方程的流动偏角，缺省值为0.1，表明材料在很大的围压范围内，膨胀角几乎不变。因为塑性流动的非相关性，导致材料刚度矩阵的不对称，为得到收敛的计算结果，应注意采用非对称矩阵的解法。

在ABAQUS的塑性模型中，膨胀角（Dilatancy Angle）是一个重要的概念，它控制了在塑性剪切过程中材料体积应变的发展，并假定在塑性屈服过程中保持恒定。当膨胀角为0时，意味着在剪切过程中材料体积保持不变。膨胀角的物理意义体现在材料在受到剪切力作用时，其体积可能会发生膨胀或收缩。在ABAQUS中，剪胀角的取值范围通常受到限制，例如默认情况下剪胀角的最小值是0.1°。在混凝土塑性模型中，膨胀角同样重要。例如，在混凝土破坏塑性（CDP）模型中，膨胀角在压力相关塑性模型中的作用被审查，它影响材料膨胀率的表示。在CDP模型和Burzynski-Drucker-Prager（BDP）塑性模型中，连续体的膨胀角定义可能导致不同的角度幅度，这在模拟混凝土结构时，如单轴或双轴压缩下面板的Kupfer基准测试以及板-柱连接中的冲剪响应，对结果有显著影响。

屈服面方程采用Lubliner et. al(1989)提出，并由Lee和Fenves(1998)针对混凝土拉压不同进行修正的模型。

       式中，

为最大有效主应力；

为双轴等压屈服强度与单轴抗压强度的比值，缺省值为1.16；Kc为拉子午线q(TM)、压子午线q(CM)上第二应力不变量的比值，应满足0.5<Kc<1，缺省值为2/3；

分别为有效拉、压应力。图1为平面应力状态的屈服面，图2为应力偏量平面上对应于不同c K值的屈服面。

图1 平面应力状态的屈服面

图2 应力偏量平面上的屈服面

屈服准则定义了在多轴应力状态下的弹性极限。混凝土材料的屈服应力是一个假定值，只用于数学形式的本构关系，为简化起见，塑性模型假定初始屈服面与破坏面有相似的形状，但尺寸较小。如果破坏面的尺寸对应于单轴抗压强度fc，那么初始屈服面的尺寸减少至0.3fc，因此屈服函数与破坏函数有相同的形式，不同之处在于用0.3fc代替fc。对于初始屈服面的定义这样简化并不很好，主要有两个原因：一是在静水压力荷载作用下塑性体积的变化不能通过屈服面得到，因为它沿静水压力方向是张开的；二是由这样定义的屈服面和破坏面包围的强化区也许不能正确地模拟混凝土的特性，因为这样定义意味着一个均匀分布的塑性区，因此该模型对所有加载情况都预测到一个相似的特性。例如，如果模型根据单轴压缩试验来标定，那么只能在低的侧压力的压缩荷载作用下才得到满意的预测结果，但对于拉伸荷载作用下得到的塑性变形偏高，而在高侧压力的压缩荷载作用下的塑性变形偏低。

材料软化段通常指的是材料在达到其最大承载能力（即屈服点）之后，随着应变的增加，其应力水平降低的阶段。这种现象在许多材料中都可能出现，尤其是在塑性变形过程中。在工程和材料科学中，软化段是材料非线性行为的一个重要特征，它影响材料的承载能力和结构的最终破坏模式。在塑性变形的背景下，材料软化段可以这样理解：1. 屈服点：材料开始发生宏观塑性变形的应力水平。2. 塑性变形：材料在超过屈服点后，内部结构发生不可逆的变化，导致变形。3. 软化：随着塑性变形的继续，材料的承载能力下降，即应力-应变曲线开始下降。4. 软化段结束：材料可能在某个点达到一个新的平衡状态，或者完全失去承载能力，导致结构破坏。在ABAQUS等有限分析软件中，软化段可以通过塑性模型来模拟。例如，在混凝土破坏塑性（CDP）模型中，软化段可以描述混凝土在达到峰值应力后的应力下降过程，这通常与材料内部的微裂纹扩展和损伤累积有关。在进行结构分析时，考虑材料的软化行为对于预测结构的极限状态和破坏模式至关重要。通过合理地模拟软化段，可以更准确地评估结构在极端载荷或长期使用条件下的性能。

在隐式积分计算中，材料模型的软化与刚度退化会导致严重的收敛困难，通常的处理方法是对材料本构方程进行粘性修正，使材料软化段的连续切线刚度在足够小的增量步为正值，以克服收敛困难。混凝土塑性损伤模型的粘塑性修正方法是允许应力超过屈服面，应用Duvaut-Lions修正，粘塑性拉应变速率

定义如下：

μ为粘性系数，代表粘塑性系统的应力释放时间，εpl为按照无粘滞模型计算的塑性应变。粘塑性系统的粘性刚度退化系数dv计算方法如下：

d为无粘滞模型的退化系数，粘塑性模型的应力应变关系由下式给出：

应用相对于时间增量较小的粘性系数的粘塑性修正方法，可以增加模型软化段的收敛速度而不会对结果造成显著影响。

2. 核心混凝土塑性性能定义