反函数求导法则：如果原函数在区间 I x I_x Ix 内单调，且其导数不等于0，那么它的反函数在区间 I y I_y Iy 内也可导，导数等于以下公式。
反函数的求导公式： [ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)} [f−1(x)]′=f′(y)1，或 d y d x = 1 d x d y \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}} dxdy=dydx1
这个公式可以简单地说成：
反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
或者可以说，原函数的导数等于反函数导数的倒数。
设原函数是 y y y 关于 x x x 的函数， y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)。其反函数是 x x x 关于 y y y 的函数。
使用反函数求导公式的步骤：
- 指明区间
- 写出原函数的反函数，即 x = f ( y ) x=f(y) x=f(y)；
- 写出反函数的导数，对 y y y 求导，得 x ′ = f ′ ( y ) x'=f'(y) x′=f′(y)；
- 并将关于 y y y 的函数替换为关于 x x x 的导数。
以 y = arcsin x y=\arcsin x y=arcsinx 为例：
- 在 [ − π / 2 , π / 2 ] [-π/2,π/2] [−π/2,π/2] 上，反函数 x = sin y x=\sin y x=siny 单调，
- 反函数可导，且 ( sin y ) ′ = cos y > 0 (\sin y)'=\cos y > 0 (siny)′=cosy>0.
- 则 y ′ = ( arcsin x ) ′ = 1 f ′ ( y ) = 1 ( sin y ) ′ = 1 cos y = 1 1 − ( sin y ) 2 = 1 1 − x 2 y'=(\arcsin x)'=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt {1-(\sin y)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} y′=(arcsinx)′=f′(y)1=(siny)′1=cosy1=1−(siny)21=1−x21
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