思维导图：

1.3 函数的极限

引言

本节将介绍函数极限的概念。极限的定义是理解微积分和高级数学概念的基础。本节的重点在于研究函数在自变量趋于某个值或无穷大的过程中其函数值的变化行为。

一、函数极限的定义

考虑数列 {xn}\{x_n\}{xn​}，它可以看作是自变量为 nnn 的函数 xn=f(n)x_n = f(n)xn​=f(n)，其中 n∈Nn \in Nn∈N。数列 {xn}\{x_n\}{xn​} 的极限为 aaa，就是当 n→∞n \to \inftyn→∞ 时，对应的函数值 f(n)f(n)f(n) 无限接近于确定的数 aaa。把数列极限的概念推广到一般的函数极限，我们可以得出以下结论：

如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限接近于某个确定的数值，那么这个数值就叫做函数的极限。函数极限的概念与自变量的变化过程密切相关。由于自变量的不同变化过程，函数极限会表现出不同的形式。

数列的极限可以看作函数 f(n)f(n)f(n) 在 n→∞n \to \inftyn→∞ 时的极限，此时自变量的变化过程是 n→∞n \to \inftyn→∞。接下来，我们将讨论其他情况下函数 f(x)f(x)f(x) 的极限，主要研究以下两种情况：

1. 当自变量 xxx 任意接近于某个有限值 x0x_0x0​ 时，函数 f(x)f(x)f(x) 的极限行为
2. 当自变量 xxx 的绝对值 ∣x∣|x|∣x∣ 无限增大时，函数 f(x)f(x)f(x) 的极限行为

---

2024/9/19 日补充

为什么出现极限的定义？

我的理解：

这里其实没有讲清楚，我来讲一下，数学家们在研究或解决实际问题的时候发现极限难以用数学表达，比如研究数列极限的时候，如果没有极限的概念你该如何研究当n趋于无穷的时候数列值的情况呢？有时候能通过画图的几何角度用肉眼看出来，但是我们面对所有问题都可以用这个方法吗？很显然这样做是有问题的，读者能否说出来？首先也是最致命的问题，如果我们面对的是一个无穷数列我们是无法在纸上画出他的所有项的，就好像你想知道所有三角形内角和是否都为180度你是无法通过画出这个世界上所有的三角形来证明你的结论的，这其实同时也在告诉或者说引出我们一个观点就是为了解决问题一般有两种思路，第一种归纳法但是这种方法不严谨，遇到上诉的情况用归类的思想在我看来这种情况可以归类为无穷问题，无法严密的证明。第二种方法就是演绎推理和逻辑推理，这种方法最显著的著作那就是几何原本了，从一个个公理出发以此为出发点，第一步先定义一个个概念因为一个问题只有严格的定义才能被无歧义或者其他因素影响研究，然后通过演绎推理或者逻辑推理得到一个个新的定理或者公式。整个过程是严谨且无懈可击的。对于一些无穷问题我们在学习微积分之前我们一般才采用反证法来解决，但是先

---

 

二、自变量趋于有限值时的函数极限

现在考虑当自变量 x→x0x \to x_0x→x0​ 的过程中，如果函数值 f(x)f(x)f(x) 无限接近于某个常数 AAA，那么我们就称 AAA 为函数 f(x)f(x)f(x) 当 x→x0x \to x_0x→x0​ 时的极限。

需要注意的是，这里我们假定函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某个去心邻域内是有定义的。也就是说，函数 f(x)f(x)f(x) 可以在 x0x_0x0​ 附近的一段范围内取值，但不要求它在 x0x_0x0​ 点本身有定义。

正式定义：

对于任意给定的正数 ϵ\epsilonϵ，总存在一个正数 δ\deltaδ，当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ 时，函数值 f(x)f(x)f(x) 满足：

换句话说，当 xxx 足够接近 x0x_0x0​ （但不等于 x0x_0x0​）时，函数值 f(x)f(x)f(x) 可以任意接近常数 AAA。

几何解释：

从几何上看，给定任意正数 ϵ\epsilonϵ，可以在 y=A+ϵy = A + \epsilony=A+ϵ 和 y=A−ϵy = A - \epsilony=A−ϵ 之间画两条平行于 xxx 轴的直线。这两条直线之间的区域就是所谓的 ϵ\epsilonϵ 带。根据定义，在某个 δ\deltaδ 邻域内，函数 f(x)f(x)f(x) 的图像将完全落在这个 ϵ\epsilonϵ 带内，除了 x=x0x = x_0x=x0​ 之外。

简化记号：

我们可以将极限的定义简化为以下的记号：

例子：证明极限

例1：

证明：

证明：在此例中，f(x)=cf(x) = cf(x)=c 并且 A=cA = cA=c。因此，对于任意 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，我们可以取任意 δ>0\delta > 0δ>0，只要 我们有：

因此极限成立，结论为：

二、自变量趋于有限值时的函数极限

我们将通过几个例题来详细讲解如何应用极限的定义。

例题2：证明 lim⁡x→x0x=x0\lim_{x \to x_0} x = x_0limx→x0​​x=x0​

证明:
这里，∣f(x)−A∣=∣x−x0∣|f(x) - A| = |x - x_0|∣f(x)−A∣=∣x−x0​∣，因此对于任意给定的 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，总可以取 δ=ϵ\delta = \epsilonδ=ϵ，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ，有 ∣x−x0∣<ϵ|x - x_0| < \epsilon∣x−x0​∣<ϵ。因此，我们得出 lim⁡x→x0x=x0\lim_{x \to x_0} x = x_0limx→x0​​x=x0​。

解题思路：

本题通过直接使用极限的定义进行证明。关键在于函数 f(x)=xf(x) = xf(x)=x 本身是一个线性函数，且其极限与自变量趋向的值相同，因此这个例子展示了极限定义的基本操作及如何选取 δ\deltaδ 值。

例题3：证明 lim⁡x→1(2x−1)=1\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1limx→1​(2x−1)=1

证明:
首先，函数 f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1f(x)=2x−1，所以 ∣f(x)−1∣=∣(2x−1)−1∣=2∣x−1∣|f(x) - 1| = |(2x - 1) - 1| = 2|x - 1|∣f(x)−1∣=∣(2x−1)−1∣=2∣x−1∣。
为了使 ∣f(x)−1∣<ϵ|f(x) - 1| < \epsilon∣f(x)−1∣<ϵ，我们需要 ∣x−1∣<ϵ2|x - 1| < \frac{\epsilon}{2}∣x−1∣<2ϵ​，因此可以取 δ=ϵ2\delta = \frac{\epsilon}{2}δ=2ϵ​。当 0<∣x−1∣<δ0 < |x - 1| < \delta0<∣x−1∣<δ 时，对应的函数值满足不等式 ∣(2x−1)−1∣<ϵ|(2x - 1) - 1| < \epsilon∣(2x−1)−1∣<ϵ。因此，lim⁡x→1(2x−1)=1\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1limx→1​(2x−1)=1。

解题思路：

此题通过合理选取 δ\deltaδ 来证明函数的极限，展示了如何应对带有系数的线性函数的极限问题。这类例题帮助我们理解，面对不同的函数形式时，关键在于如何根据函数形式调整 δ\deltaδ 的值。

例题4：证明 lim⁡x→11x−1=2\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} = 2limx→1​x−11​=2

证明:
尽管函数在 x=1x = 1x=1 点处无定义，但这并不影响我们讨论函数在趋近该点时的极限。对于任意 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，我们有不等式 ∣x−1−2∣<ϵ|x - 1 - 2| < \epsilon∣x−1−2∣<ϵ。将非零因子 x−1x - 1x−1 约去后，不等式化为 ∣x+1−2∣=∣x−1∣<ϵ|x + 1 - 2| = |x - 1| < \epsilon∣x+1−2∣=∣x−1∣<ϵ，因此取 δ=ϵ\delta = \epsilonδ=ϵ，可以得出当 0<∣x−1∣<δ0 < |x - 1| < \delta0<∣x−1∣<δ 时，函数满足 ∣x−1−2∣<ϵ|x - 1 - 2| < \epsilon∣x−1−2∣<ϵ，所以 lim⁡x→11x−1=2\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} = 2limx→1​x−11​=2。

解题思路：

本题展示了即使函数在某点无定义，我们仍然可以通过极限的概念来确定函数的行为。这表明函数的极限与其在该点是否有定义无关。

例题5：证明 lim⁡x→x0x=x0\lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0}limx→x0​​x​=x0​​

证明:
对于任意 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，我们希望 ∣x−x0∣<ϵ|\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| < \epsilon∣x​−x0​​∣<ϵ。将其转化为 ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta∣x−x0​∣<δ，只需 ∣x−x0∣<x0ϵ|x - x_0| < \sqrt{x_0} \epsilon∣x−x0​∣<x0​​ϵ 并且 x≥0x \geq 0x≥0 成立即可。因此可以取 δ=min⁡(x0,x0ϵ)\delta = \min(x_0, \sqrt{x_0} \epsilon)δ=min(x0​,x0​​ϵ)，从而证明 lim⁡x→x0x=x0\lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0}limx→x0​​x​=x0​​。

解题思路：

本题通过平方根函数的极限证明了非线性函数的极限行为，展示了如何处理带有平方根的复杂函数。这有助于我们理解不同类型的函数如何逼近其极限值。

---

通过这些例题的详细分析，可以看出函数极限的核心是合理选取 δ\deltaδ 以满足给定的 ϵ\epsilonϵ。每个例题展示了不同函数形式下的极限运算，同时也让我们认识到函数的极限行为不仅仅取决于函数是否在某点有定义，而是取决于函数在邻域内的行为。

三、函数极限的性质

在函数极限的研究中，函数极限具有一些与收敛数列相类似的重要性质。这些性质不仅帮助我们更好地理解函数极限的行为，还为我们提供了理论依据来进行复杂函数的分析与计算。下面我们将从三个方面展开对函数极限性质的讨论：性质是什么？为什么这些性质成立？这些性质有什么用？

定理 1: 函数极限的唯一性

性质：如果 lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0​​f(x) 存在，那么这个极限是唯一的。

为什么成立：
函数极限的定义要求，当 x→x0x \to x_0x→x0​ 时，f(x)f(x)f(x) 的值趋于某个确定的数 AAA。如果极限存在，那么对每个 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，都可以找到一个 δ\deltaδ，使得 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ 时，∣f(x)−A∣<ϵ|f(x) - A| < \epsilon∣f(x)−A∣<ϵ。假设极限不唯一，存在另一个极限值 B≠AB \neq AB=A，根据极限的定义，对于 AAA 和 BBB 都可以找到合适的 δA\delta_AδA​ 和 δB\delta_BδB​，这会导致 f(x)f(x)f(x) 在趋于不同值的矛盾。因此极限唯一性是成立的。

有什么用：
极限的唯一性使得我们在求解极限时不需要担心多解问题。如果一个极限存在，那么结果是确定的，可以避免在函数分析中产生混淆。

定理 2: 函数极限的局部有界性

性质：如果 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A，那么存在一个常数 M>0M > 0M>0 和 δ>0\delta > 0δ>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ 时，有 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M∣f(x)∣≤M。

证明：
因为 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A，根据定义，取 ϵ=1\epsilon = 1ϵ=1，可以找到一个 δ>0\delta > 0δ>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ 时，∣f(x)−A∣<1|f(x) - A| < 1∣f(x)−A∣<1。因此，

取 M=∣A∣+1M = |A| + 1M=∣A∣+1，定理成立。

为什么成立：
因为函数在趋近极限值 AAA 时，其值会越来越接近 AAA，因此我们可以找到一个常数 MMM 来约束函数在这个邻域内的最大值。即使函数在极限点 x0x_0x0​ 处没有定义，这一局部有界性依然成立。

有什么用：
局部有界性为我们提供了函数在某个邻域内的最大范围估计。这在实际计算中很有用，例如，当我们需要估计函数的最大值或最小值时，这个性质提供了一个可以控制的界限。

定理 3: 函数极限的局部保号性

性质：如果 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A，且 A>0A > 0A>0（或 A<0A < 0A<0），那么存在一个常数 δ>0\delta > 0δ>0，使得当

证明：
考虑 A>0A > 0A>0 的情况。因为 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A，并且 A>0A > 0A>0，根据定义，取 ϵ=A2\epsilon = \frac{A}{2}ϵ=2A​，可以找到一个 δ>0\delta > 0δ>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ 时，

因此，

类似地，可以证明 A<0A < 0A<0 的情况。

为什么成立：
当极限 AAA 为正数或负数时，函数在趋于极限点的过程中，其值会越来越接近 AAA，因此在一定范围内，函数值必须保持与 AAA 相同的符号。这就是局部保号性的直观解释。

有什么用：
局部保号性在分析函数单调性和符号变化时非常重要。例如，在判断一个函数在某个区间内是否总为正或负时，这个性质提供了理论支持，尤其是在研究函数的根、极值等问题时。

定理 4: 函数极限与数列极限的关系

性质：如果 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A，那么对于定义域内任意收敛于 x0x_0x0​ 的数列 {xn}\{x_n\}{xn​}，函数值数列 {f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn​)} 也必收敛，且

证明：
设 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A，根据极限定义，对于任意 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，存在 δ>0\delta > 0δ>0，当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ 时，有

又因为 lim⁡n→∞xn=x0\lim_{n \to \infty} x_n = x_0limn→∞​xn​=x0​，因此对于 δ>0\delta > 0δ>0，存在 NNN，当 n>Nn > Nn>N 时，满足 ∣xn−x0∣<δ|x_n - x_0| < \delta∣xn​−x0​∣<δ。因此，对于 n>Nn > Nn>N，有

即 lim⁡n→∞f(xn)=A\lim_{n \to \infty} f(x_n) = Alimn→∞​f(xn​)=A，定理得证。

为什么成立：
函数极限与数列极限的关系体现了连续性的概念。函数值在 x→x0x \to x_0x→x0​ 的极限与数列收敛的极限是等价的。数列提供了一个离散的方式来考察极限点附近的行为，而函数极限则是连续的视角，两者之间有着天然的联系。

有什么用：
这个性质在数学分析和实际计算中具有广泛应用。例如，数值计算中常常使用数列来近似求解函数的极限，定理 4 提供了这种方法的理论依据。它还应用于连续性证明和函数逼近等方面。

---

通过这些定理，我们不仅了解了函数极限的一些重要性质，还理解了这些性质背后的原理。函数极限的唯一性确保了结果的确定性，局部有界性和局部保号性为函数在极限点附近的行为提供了理论保障，而函数极限与数列极限的关系则揭示了函数和数列之间的内在联系。这些性质在函数分析、数值计算、以及实际问题的建模和求解中都起着至关重要的作用。

今天的文章 1.3 函数的极限分享到此就结束了，感谢您的阅读。