1. Rayleich信道
Rayleich信道是无线通信中的一种重要信道模型，它主要用于描述在多径传播环境下的信号衰落 (无视距传播LoS)。
Rayleich分布：
Rayleich分布就是均值为0，方差为 σ \sigma σ的复高斯分布
1）高斯分布：
p = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 p = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} p=2πσ21e−2σ2(x−μ)2
2）复高斯分布：
单变量高斯分布：
p X ( x ) = 1 2 π σ X 2 exp ( − ( x − μ X ) 2 2 σ X 2 ) p Y ( y ) = 1 2 π σ Y 2 exp ( − ( y − μ Y ) 2 2 σ Y 2 ) p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2}} \exp \left( -\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2} \right)\\ p_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_Y^2}} \exp \left( -\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2} \right) pX(x)=2πσX21exp(−2σX2(x−μX)2)pY(y)=2πσY21exp(−2σY2(y−μY)2)
联合高斯分布：
p X Y ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y exp ( − ( x − μ X ) 2 2 σ X 2 − ( y − μ Y ) 2 2 σ Y 2 ) p_{XY}(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y} \exp \left( -\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2} - \frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2} \right) pXY(x,y)=2πσXσY1exp(−2σX2(x−μX)2−2σY2(y−μY)2)
对于复高斯分布 Z = X + i Y Z = X + iY Z=X+iY，其概率密度函数 p Z ( z ) p_Z(z) pZ(z) 可以通过联合概率密度函数 p X Y ( x , y ) p_{XY}(x, y) pXY(x,y) 得到:
p Z ( z ) = p X Y ( x , y ) p_Z(z) = p_{XY}(x, y) pZ(z)=pXY(x,y)
如果 μ X = μ Y = 0 \mu_X = \mu_Y = 0 μX=μY=0 且 σ X = σ Y = σ \sigma_X = \sigma_Y = \sigma σX=σY=σ，则联合概率密度函数为:
p X Y ( x , y ) = 1 2 π σ 2 exp ( − x 2 + y 2 2 σ 2 ) p_{XY}(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \exp \left( -\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2} \right) pXY(x,y)=2πσ21exp(−2σ2x2+y2)
Rayleich分布推导：
①将直角坐标系转换为极坐标系:
x = r cos ( θ ) x = r \cos(\theta) x=rcos(θ)
y = r sin ( θ ) y = r \sin(\theta) y=rsin(θ)
其中 r = x 2 + y 2 r = \sqrt{x^2 + y^2} r=x2+y2 是幅度， θ \theta θ是相位。
②使用雅可比行列式转换坐标系:
极坐标转换的雅可比行列式为 r r r，因此联合概率密度函数在极坐标下变为:
p R , Θ ( r , θ ) = p X Y ( r cos ( θ ) , r sin ( θ ) ) ⋅ r p_{R,\Theta}(r, \theta) = p_{XY}(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) \cdot r pR,Θ(r,θ)=pXY(rcos(θ),rsin(θ))⋅r
p R , Θ ( r , θ ) = r 2 π σ 2 exp ( − r 2 2 σ 2 ) p_{R,\Theta}(r, \theta) = \frac{r}{2\pi\sigma^2} \exp \left( -\frac{r^2}{2\sigma^2} \right) pR,Θ(r,θ)=2πσ2rexp(−2σ2r2)
雅可比行列式 (Jacobian determinant) 是用于坐标转换的数学工具，在从一种坐标系转换到另一种坐标系时，它可以用来描述新坐标系中微小区域的体积变化。假设我们有两个坐标系: 原始坐标系 ( x , y ) (x, y) (x,y) 和转换后的坐标系 ( u , v ) (u, v) (u,v)。如果 u u u 和 v v v 是 x x x 和 y y y 的函数数，即 u = u ( x , y ) u = u(x, y) u=u(x,y) 和 v = v ( x , y ) v = v(x, y) v=v(x,y)，那么雅可比行列式 J J J 用来描述在 ( x , y ) (x, y) (x,y)空间中的一个微小区域经过坐标变换后在 ( u , v ) (u, v) (u,v) 空间中的面积变化。
首先，我们定义雅可比矩阵 J J J 为:
J = ( ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ) J = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} J=(∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v)
雅可比行列式 det ( J ) \det(J) det(J) 是雅可比矩阵的行列式，表示为:
det ( J ) = ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y − ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x \det(J) = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} det(J)=∂x∂u∂y∂v−∂y∂u∂x∂v
在极坐标转换中的应用
在从直角坐标 ( x , y ) (x, y) (x,y) 转换到极坐标 ( r , θ ) (r, \theta) (r,θ) 时，转换关系为:
x = r cos ( θ ) x = r \cos(\theta) x=rcos(θ), y = r sin ( θ ) y = r \sin(\theta) y=rsin(θ)
对应的雅可比矩阵为:
J = ( ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ) = ( cos ( θ ) − r sin ( θ ) sin ( θ ) r cos ( θ ) ) J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -r \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & r \cos(\theta) \end{pmatrix} J=(∂r∂x∂r∂y∂θ∂x∂θ∂y)=(cos(θ)sin(θ)−rsin(θ)rcos(θ))
计算雅可比行列式:
det ( J ) = cos ( θ ) ⋅ r cos ( θ ) − ( − r sin ( θ ) ⋅ sin ( θ ) ) = r ( cos 2 ( θ ) + sin 2 ( θ ) ) = r \det(J) = \cos(\theta) \cdot r \cos(\theta) - (-r \sin(\theta) \cdot \sin(\theta)) = r (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)) = r det(J)=cos(θ)⋅rcos(θ)−(−rsin(θ)⋅sin(θ))=r(cos2(θ)+sin2(θ))=r
这里利用了三角恒等式 cos 2 ( θ ) + sin 2 ( θ ) = 1 \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 cos2(θ)+sin2(θ)=1。
因此，雅可比行列式 r r r 表示的是从直角坐标 ( x , y ) (x, y) (x,y) 转换到极坐标 ( r , θ ) (r, \theta) (r,θ) 时，微小区域的面积变化。
在概率密度函数的转换中，雅可比行列式用于调整新坐标系中的概率密度函数。具体来说，当我们从 ( x , y ) (x, y) (x,y) 坐标系转换到 ( r , θ ) (r, \theta) (r,θ)极坐标系时，联合概率密度函数 p X Y ( x , y ) p_{XY}(x, y) pXY(x,y) 需要乘以雅可比行列式 r r r:
p R , Θ ( r , θ ) = p X Y ( r cos ( θ ) , r sin ( θ ) ) ⋅ r p_{R, \Theta}(r, \theta) = p_{XY}(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) \cdot r pR,Θ(r,θ)=pXY(rcos(θ),rsin(θ))⋅r
③对相位积分
我们需要对相位角 θ \theta θ 进行积分，以得到幅度 R R R 的边际概率密度函数:
f R ( r ) = ∫ 0 2 π p R , Θ ( r , θ ) d θ f_R(r) = \int_0^{2\pi} p_{R,\Theta}(r, \theta) \, d\theta fR(r)=∫02πpR,Θ(r,θ)dθ
将 p R , Θ ( r , θ ) p_{R,\Theta}(r, \theta) pR,Θ(r,θ)代入:
f R ( r ) = ∫ 0 2 π r 2 π σ 2 exp ( − r 2 2 σ 2 ) d θ f_R(r) = \int_0^{2\pi} \frac{r}{2\pi\sigma^2} \exp \left( -\frac{r^2}{2\sigma^2} \right) \, d\theta fR(r)=∫02π2πσ2rexp(−2σ2r2)dθ
由于积分不含 θ \theta θ，可以直接计算:
f R ( r ) = r 2 π σ 2 exp ( − r 2 2 σ 2 ) ⋅ 2 π f_R(r) = \frac{r}{2\pi\sigma^2} \exp \left( -\frac{r^2}{2\sigma^2} \right) \cdot 2\pi fR(r)=2πσ2rexp(−2σ2r2)⋅2π
结果:
f R ( r ) = r σ 2 exp ( − r 2 2 σ 2 ) , r ≥ 0 f_R(r) = \frac{r}{\sigma^2} \exp \left( -\frac{r^2}{2\sigma^2} \right), \quad r \geq 0 fR(r)=σ2rexp(−2σ2r2),r≥0
2. Rice信道
Rice distribution描述了复数高斯信号的幅度分布，其中信号具有非零均值。适用于描述存在直达路径（LOS）和多径效应同时存在的情况。
定义：
假设一个复数高斯信号 Z Z Z 的实部 X X X 和虚部 Y Y Y 分别是均值不为零的独立高斯随机变量：
X ∼ N ( μ X , σ 2 ) X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma^2) X∼N(μX,σ2)
Y ∼ N ( μ Y , σ 2 ) Y \sim \mathcal{N}(\mu_Y, \sigma^2) Y∼N(μY,σ2)
那么，信号的幅度 R R R 服从莱斯分布。
概率密度函数
莱斯分布的概率密度函数（PDF）为：
f R ( r ; ν , σ ) = r σ 2 exp ( − r 2 + ν 2 2 σ 2 ) I 0 ( r ν σ 2 ) , r ≥ 0 f_R(r; \nu, \sigma) = \frac{r}{\sigma^2} \exp \left( -\frac{r^2 + \nu^2}{2\sigma^2} \right) I_0 \left( \frac{r \nu}{\sigma^2} \right), \quad r \geq 0 fR(r;ν,σ)=σ2rexp(−2σ2r2+ν2)I0(σ2rν),r≥0
其中：
- ν \nu ν是信号的非中心参数，等于信号均值的幅度 μ X 2 + μ Y 2 \sqrt{\mu_X^2 + \mu_Y^2} μX2+μY2。
- σ \sigma σ是复数高斯信号的标准差。
- I 0 I_0 I0是修正贝塞尔函数第一类零阶。
修正贝塞尔函数 I 0 I_0 I0
修正贝塞尔函数第一类零阶 I 0 I_0 I0 的定义为：
I 0 ( x ) = 1 2 π ∫ 0 2 π exp ( x cos θ ) d θ I_0(x) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \exp (x \cos \theta) \, d\theta I0(x)=2π1∫02πexp(xcosθ)dθ
待补充。。。
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