一、直线方程

• 点斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)(其中\(l\)过定点\(P_1(x_1，y_1)\)，斜率为\(k\))；

缺陷：不能表示斜率不存在的直线；

• 斜截式：\(y=kx+b\)(\(k\)是斜率，\(b\)是\(y\)截距)；

缺陷：不能表示斜率不存在的直线；

• 两点式：\(\cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1\neq x_2，y_1\neq y_2)\)(两点是\(P_1(x_1，y_1)、P_2(x_2，y_2)\))，

缺陷：不能表示斜率不存在的和斜率为0的直线；

• 截距式：\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1(a\neq 0，b\neq 0)\)(\(a,b\)分别是横纵截距)，

缺陷：不能表示过原点的直线；

• 一般式：\(Ax+By+C=0\)，

没有上述直线方程的缺陷。

二、直线的参数方程

• 形式一：以动点到定点的有向线段的数量为参数，

\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.(t为参数)\)

• 形式二：

三、直线系方程

• 定点直线系方程

经过定点\(P(x_0，y_0)\)的直线系方程是\(y-y_0=k(x-x_0)(k是待定系数)\)或者是\(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0(A，B)是待定系数\)；

• 共点直线系方程

经过两条直线\(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0，l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)的交点的直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0(除l_2)\)，其中\(\lambda\)是待定系数。

解释说明：共点直线系方程中为什么不包括\(l_2\)？

由于共点直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0\)，

则当\(\lambda=0\)时，此时直线刻画表达的是直线\(l_1\)，

当\(\lambda\neq 0\)时，要使得直线刻画表达的是直线\(l_2\)，则需要满足共点直线系方程中的\(A_1x+B_1y+C_1=0\)，而它前边没有系数，故不可能突变为\(0\)，这样整个的运算结果就不可能变为\(A_2x+B_2y+C_2=0\)，故共点直线系方程中为什么不包括\(l_2\)；

如果我们将共点直线系方程写为\(\lambda (A_1x+B_1y+C_1)+(A_2x+B_2y+C_2)=0\)，则此时共点直线系方程中就不包含\(l_1\)。

用课件做以说明。

• 平行直线系方程

直线\(y=kx+b\)中，当\(k\)一定而\(b\)变化时，表示平行直线系方程；与直线\(Ax+By+C=0\)平行的直线系方程是\(Ax+By+\lambda=0(C\neq \lambda\)，即不包含两直线重合情况，\(\lambda\) 为参数)。

• 垂直直线系方程

与直线\(Ax+By+C=0(A\neq 0，B\neq 0)\)垂直的直线系方程是\(Bx-Ay+\lambda=0(\lambda 为参数)\)。

四、圆的切线方程

已知圆\(x^2+y^2=r^2\)，则可知

①过圆上的点\(P_0(x_0，y_0)\)的切线方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)；

②斜率为\(k\)的直线成为圆的的切线方程为\(y=kx\pm r\sqrt{1+k^2}\)；

五、两圆相交弦方程

引例：比如给定\(\odot C_1：(x-1)^2+(y-1)^2=4\)①，\(\odot C_2：(x+1)^2+(y+1)^2=4\)②，

由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为\(-2x-2x-2y-2y=0\)，即\(y=-x\)；

由此类比得到更一般化的情形：

给定\(\odot C_1：(x-a)^2+(y-b)^2=e\)①，\(\odot C_2：(x-c)^2+(y-d)^2=f\)②，注意两圆必须相交； 由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为\((2c-2a)x+(2d-2b)y+a^2-c^2+b^2-d^2-e+f=0\)；

六、相互关系

• 平行的充要条件
• 垂直的充要条件

有空待补充。

七、典例剖析

例1【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第3题】

若直线\(x+(1+m)y-2=0\)与直线\(mx+2y+4=0\)平行，则\(m\)的值为【】

$A.1$ $B.-2$ $C.1或-2$ $D.-\cfrac{3}{2}$

分析：由题可知，\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\neq \cfrac{-2}{4}\)①，具体求解时我们往往只利用下式求值，

由\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\)②，解得\(m=1\)或\(m=-2\)，由于刚才扩大了范围，故此时需要代入①式验证，

验证得到\(m=-2\)时不符，故\(m=1\)，则选\(A\)。

反思：满足②式的解不见得就一定满足①式，故不要忘记验证。补充直线平行或垂直的充要条件。

八、求直线方程的方法

待补充

①直接法
②公式法
③直线系法
④向量法
⑤相关点法
⑥参数法
⑦结构分析法
⑧点差法