零.【摘要】：在这个专刊里，我会把所有算法都讲一遍，这章讲了搜索与回溯算法的原理和题目。

一.【搜索与回溯算法】：

搜索和回溯算法都是常用的问题求解方法，经常用于解决组合优化问题，如全排列、子集、组合等。以下是搜索和回溯算法的基本思想和示例代码：

1. 搜索算法的基本思想是通过遍历搜索问题的所有可能解，找到满足条件的解。搜索算法可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来实现。

2. 回溯算法是一种特殊的深度优先搜索算法，在搜索过程中，当发现当前的部分解不能满足问题的条件时，就会回溯到上一个状态，然后进行其他的尝试。回溯算法通常使用递归来实现。

二.【搜索之广度优先搜索】：

广度优先搜索（BFS，Breadth-First Search）是一种用于图和树等数据结构中的搜索算法。它从开始节点开始，逐层遍历，先访问离起始节点最近的节点，然后逐渐扩展到离起始节点更远的节点。

三【广度优先搜索的做法】：

1. 创建一个队列（可以使用STL中的 ）和一个visited数组（用于记录已经访问过的节点）。
2. 将起始节点放入队列，并将其标记为已访问。
3. 循环执行以下步骤，直到队列为空：
   • 从队列中取出队首节点。
   • 处理当前节点（例如，输出、记录或进行其他操作）。
   • 遍历当前节点的邻居节点：
     • 如果邻居节点未被访问过，则将其标记为已访问，并将其放入队列中。
4. 完成搜索。

广度优先搜索的特点是按照节点的层次进行遍历，从起始节点开始，依次访问离起始节点最近的节点，然后再访问离起始节点较远的节点。

四.【广度优先搜索事例代码】：

输出结果为：0 1 2 3 4 5。

在示例代码中，我们使用一个  数组来记录已经访问过的节点，避免重复访问同一个节点。同时使用一个队列  来保存待访问的节点。我们从起始节点开始，将其标记为已访问并入队，然后循环进行弹出队首节点并打印，同时将其未访问的邻居节点标记为已访问并入队，直到队列为空。这样就完成了广度优先搜索的图遍历。

五.【搜索之深度优先搜索】：

深度优先搜索（DFS，Depth-First Search）是一种用于图和树等数据结构中的搜索算法。它从起始节点开始，通过依次访问节点的子节点，直到达到最深的节点，然后再回溯到上一层继续进行搜索。

六.【深度优先搜索的做法】：

1. 创建一个visited数组（用于记录已经访问过的节点）。
2. 从起始节点开始，调用递归函数进行深度优先搜索。
3. 在递归函数中，首先处理当前节点（例如，输出、记录或进行其他操作）。
4. 遍历当前节点的邻居节点：
   • 如果邻居节点未被访问过，则将其标记为已访问，并继续递归调用深度优先搜索函数。
5. 完成搜索。

深度优先搜索的特点是优先访问离起始节点较远的节点，直到达到最深的节点，然后再回溯到上一层继续搜索。这种搜索方式类似于前序遍历树的方式。

七.【深度优先搜索事例代码】：

下面是一个使用深度优先搜索进行图遍历的示例代码：

输出结果为：0 1 3 4 2 5。

在示例代码中，我们使用一个  数组来记录已经访问过的节点，避免重复访问同一个节点。我们从起始节点开始，调用递归函数进行深度优先搜索。在递归函数中，首先处理当前节点，然后遍历当前节点的邻居节点，如果邻居节点未被访问过，则将其标记为已访问并继续递归调用深度优先搜索函数。这样就完成了深度优先搜索的图遍历。

八.【搜索之回溯】：

回溯（Backtracking）是一种在搜索算法中常用的技术，用于在问题的解空间中进行搜索并找到所有满足特定条件的解。它通常用于解决组合、排列、子集等相关问题。

九.【回溯的做法】：

1. 定义一个解空间，即问题的可能解集合。
2. 定义一个候选集，表示当前选择的候选项（可能是下一步可以选择的元素）。
3. 使用递归函数进行回溯搜索：
   • 终止条件：
     • 如果满足特定条件（例如，找到了一个有效解），则记录当前解。
   • 在候选集中选择一个元素作为下一步的选择，并将其添加到当前解中。
   • 递归调用回溯函数，进行下一步的搜索。
   • 撤销当前选择，恢复到上一层的状态，继续搜索下一个候选项。
4. 返回所有找到的解。

十.【回溯事例代码】：
 

下面是一个使用回溯算法求解全排列问题的示例代码：

输出结果为：

在示例代码中，我们使用回溯算法求解全排列问题。首先定义了一个  函数，它使用递归方式进行回溯搜索。在每一层的搜索中，我们遍历候选集中的所有元素，并选择一个未使用过的元素，将其添加到当前排列中，并继续递归搜索下一个位置。当排列的长度达到原始数组的长度时，我们将当前排列加入到结果集中。每次搜索完成后，我们撤销当前选择，并将其标记为未使用，然后继续搜索下一个候选项，直到搜索完所有的元素。最后返回所有找到的排列。

三.【操作步骤】

1. 定义问题：明确问题的输入、输出和约束条件。确定问题的定义和目标。

2. 设计数据结构：根据问题的特性，选择适当的数据结构来表示问题的状态和解空间。例如，使用数组、链表、树等来存储问题的状态。

3. 实现搜索函数：编写一个搜索函数，该函数接收当前状态和其他必要的参数，并返回下一步要探索的状态。搜索函数应根据问题的定义和约束条件进行适当的状态转换。

4. 实现回溯函数：编写一个回溯函数，该函数用于在搜索过程中回溯到上一个状态。回溯函数应该撤销前一步的操作，以便重新探索其他可能的路径。

5. 实现终止条件：确定搜索过程的终止条件。这可以是找到了满足问题定义的解，或者超过了一定的时间或深度限制。

6. 执行搜索：从初始状态开始，调用搜索函数进行搜索。在搜索的过程中，根据问题的约束条件和终止条件，进行状态转换和回溯操作。

7. 处理结果：根据搜索的结果，处理和输出满足问题定义的解。如果没有找到解，可以输出相应的提示信息。

需要注意以下几点：

- 确保正确性：在实现过程中，确保搜索和回溯函数的正确性。可以使用调试工具和单元测试来验证算法的正确性。

- 优化性能：对于复杂的问题，可能需要考虑优化搜索算法的性能。可以使用剪枝、启发式搜索等技术来提高搜索效率。

- 处理大规模问题：对于大规模问题，可能需要考虑使用适当的数据结构和算法来降低内存和时间的消耗。

这些步骤是一个一般性的指导，具体的实现过程会因问题的不同而有所差异。在实际应用中，可以根据具体问题的需求进行适当的调整和修改。

四.【题目讲解】：

1：自然数的拆分

时间限制: 1000 ms         内存限制: 65536 KB
提交数: 32931     通过数: 19305

【题目描述】

7=1+1+1+1+1+1+1
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+3
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+2+3
7=1+1+5
7=1+2+2+2
7=1+2+4
7=1+3+3
7=1+6
7=2+2+3
7=2+5
7=3+4
total=14

【输入】

【输出】

【输入样例】

7

【输出样例】

7=1+1+1+1+1+1+1
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+3
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+2+3
7=1+1+5
7=1+2+2+2
7=1+2+4
7=1+3+3
7=1+6
7=2+2+3
7=2+5
7=3+4

【算法思路】:

我们可以使用回溯法来解决这个问题。

回溯法的基本思路是不断尝试不同的拆分方式，然后递归地处理剩下的数。

具体步骤如下：

1. 定义一个函数backtracking，参数为当前要拆分的数n和当前拆分方案cur_solution。

2. 如果当前拆分方案的和等于n，将其加入到结果集中。

3. 否则，从1到n-1遍历所有可能的拆分数：

   • 将当前拆分数加入到拆分方案中。

   • 调用backtracking函数处理剩下的数（即n-当前拆分数）。

   • 从拆分方案中移除当前拆分数，以便尝试其他可能的拆分。

4. 按字典序输出结果集中的拆分方案。
   【代码实现】：

2：八皇后

时间限制: 1000 ms         内存限制: 65536 KB
提交数: 21432     通过数: 13194

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

2
1
92

【输出样例】

15863724
84136275

【算法思路】

1. 使用回溯法解决八皇后问题。
2. 定义一个大小为8的数组queens，数组中的每个元素表示第i行皇后所在的列数。
3. 定义一个递归函数backtracking来尝试放置皇后，参数为当前处理的行号row。
4. 如果row等于8，表示已经找到了一组合法的解，将其转化为整数形式，并判断是否为目标解。
5. 否则，从列1到8遍历当前行可放置皇后的位置，如果位置合法，则将该位置加入queens数组，然后递归调用backtracking处理下一行。
6. 递归调用结束后，需要回溯，将queens数组当前位置的元素重置为0，以便尝试下一个位置。
7. 不断重复步骤4~6，直到找到所有的解或达到目标解的编号b为止。
8. 输出对应的皇后串。
    

【代码实现】：

这段代码实现了求解八皇后问题的主要逻辑。在主函数中，首先读入测试数据的组数n，然后进行n次循环，每次循环读入一个正整数b，表示要求解的第b个皇后串。接着调用backtracking函数求解八皇后问题，并将结果输出。

注意，这段代码没有包含输入输出的部分，只实现了求解八皇后问题的核心算法。在实际使用时，需要根据题目要求进行输入输出的处理。

5
at
touch
cheat
choose
tact
a

23

【算法思路】： 

1. 我们可以将单词为图的遍历问题。
2. 首先构建一个图，每个单词作为一个节点，如果两个单词可以接在一起，则在两个节点之间连接一条边。例如，单词"at"和"touch"可以接在一起，它们的连接方式为"atouch"。
3. 接下来，使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）遍历这个图，从给定字母开头的节点开始搜索，找出以该节点为起点的最长路径。
4. 在搜索过程中，需要记录已经访问过的节点，以避免重复访问，并限制每个单词最多在路径中出现两次。
5. 搜索结束后，找到最长路径的长度，并输出结果。

【代码实现】：

4：【例5.2】组合的输出

时间限制: 1000 ms         内存限制: 65536 KB
提交数: 45855     通过数: 22910

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

5 3

【输出样例】

  1  2  3
  1  2  4
  1  2  5
  1  3  4
  1  3  5
  1  4  5
  2  3  4
  2  3  5
  2  4  5
  3  4  5

 【算法思路】：

1. 可以使用递归的方法输出所有组合。
2. 递归的终止条件是当已经选取的元素数量等于需要选取的数量时，输出当前组合。
3. 递归的过程是，对于当前可选元素的范围，依次选择一个元素加入组合中，然后递归调用函数选择剩下的元素，直到选择的元素数量达到需要选择的数量。
4. 在递归调用之前，将已经选择的元素放入当前组合中，并传递已选择的元素的数量作为参数。
5. 在递归调用之后，从当前组合中移除最后一个加入的元素，以便进行下一轮的选择。

【代码实现】：

5：红与黑

时间限制: 1000 ms         内存限制: 65536 KB
提交数: 37425     通过数: 15413

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

6 9 
....#.
.....#
......
......
......
......
......
#@...#
.#..#.
0 0

【输出样例】

45

 【算法思路】：

1. 首先找到初始位置的坐标。
2. 使用深度优先搜索（DFS）算法来计算从初始位置出发能到达的瓷砖数。
3. 在深度优先搜索过程中，对于每个相邻的黑色瓷砖，进行递归调用，同时将当前瓷砖标记为已访问。
4. 根据题目要求，每个相邻的瓷砖只能是上下左右四个方向之一，因此使用一个方向数组 dx[] 和 dy[] 来分别表示下一步在 x 轴和 y 轴的偏移量。
5. 在递归调用之前，将当前瓷砖标记为已访问，即将其改变为红色。
6. 在递归调用之后，将当前瓷砖标记为未访问，即将其改变为黑色。
7. 统计访问过的黑色瓷砖数量。
8. 搜索结束后，输出访问过的黑色瓷砖数量。

【算法流程】：

1. 读入矩阵的宽度w和高度h。
2. 如果w和h都为0，表示输入结束，退出循环。
3. 初始化一个二维字符数组grid用于存储瓷砖的颜色。
4. 初始化一个二维布尔数组visited用于标记瓷砖是否访问过。
5. 在读入每个瓷砖的颜色时，如果颜色为'@'，表示初始位置，记录初始位置的坐标。
6. 调用dfs函数计算从初始位置出发能到达的瓷砖数，并输出结果。
7. 重复步骤2-6，直到输入结束。

其中dfs函数使用深度优先搜索算法来计算从初始位置出发能到达的瓷砖数。对于每个相邻的黑色瓷砖，进行递归调用，并将当前瓷砖标记为已访问。搜索结束后返回访问过的黑色瓷砖数量。

【代码实现】：

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