环路建模工具

■环路建模工具就是matlab，通常的做法是建立M文件，然后在M文件中 输入各个模块的传递函数，利用matlab进行相乘（串联），连续转离 散，离散转离散等操作，得到高级环路模型。

高级环路模型是指将环路简化为几个基本模块后的结构，这些结构能被 matlab工具箱sisotool所支持。

下图为sisotool支持的所有结构：

DSP设计工具

■DSP参数确定可以使用matlab自带的sisotool工具，这个工具能够根据 要求得到传递函数。得到传递函数后，再将传递函数化为PID和LPF系 数。

■因为我们采用的是平台化的控制方法，因此可以将传递函数通过特定 的公式转成PID和LPF系数。

电压控制环路

■画出整个环路的模块，如下图：

其中K表示输出电压反馈时的缩放系数。

PWM和Convertor的本质可以理解为一个DA，或者将PWM视为DA，将 convertor视为输入模拟量(0-100%)，输出模拟电压的一个装置。

电压控制环路离散模型

■为了使用sisotool，将电压控制环路画成如下的形式。

环路设计的工作就是使用Sisotool在已知G和H的情况下求C

采样频率和固有延

■要将模拟模块处理成离散模块，首先要确定的就是采样频率，在这个 环路里面，唯一能作为标准采样频率的就是开关管的切换频率fs。

PWM的周期也为Ts。

固定采样频率后，所有的延迟都只能是Ts的整数倍。

■此系统为LTI系统，可以将所有的延迟集中到一起，此时如果延迟不是 一个整Ts，必须人为加上延迟，凑够Ts的整数倍。

将延迟分离后，所有的模型都视为和其传递函数表达式是完全相同的：

DSP，输入数据，0延迟立即输出数据，输入X[k-1]，X[k]，立即得到Y[k]。

忽略ADC的量化误差后，ADC变成一个理想采样开关 ZOH，这个ZOH制造了1/2 倍转换时间的延迟。

★注意ADC的转换延迟并不是等于转换时间，而是等于1/2转换时间。

PWM和转换器的延迟

■PWM和转换器合力完成如下工作：

在周期的起始，PWM接收占空比信号D，输出持续一个周期的PWM波形， 在这个周期的结束点，输出电压反映了上一个周期的电压 当前周期占空比 的影响。

■由此可见，如果在周期的末尾采样输出电压的话，PWM和转换器合起 来有1个周期的延迟。

有些资料上将PWM直接等效为一个ZOH，这样是存在问题的，因为ZOH只 有半个周期的延迟，这样处理的前提是要求ADC在Ts/2的位置采样，并假 设Ts/2处采样的值等于周期平均值。

这个问题的根源是没有考虑开关电源的特殊性，而是将开关电源的等效模型当成 真实模型来用了，认为PWM 转换器是一个输入模拟量d，输出稳定电压V的装置。

环路延迟的处理

■前面讨论过，转换器的输出电压在一个周期内是变换的，因此，ADC 在何时采样就很关键了，假设电压在一个周期内是逐渐稳定的，那么 理想的采样点是上一个占空比D刚刚结束，下一个占空比还未更新时。

■按照这个思路，环路延迟（包括PWM的ZOH’等）=2Ts

理想无延迟状况是采样V[k-]，产生D[k]，决定V[k ]，现在是采样V[k-2]， 决定V[k]。

提高输出电压采样精度

■前面是假设输出电压在周期结束时最精确，因而在周期末尾进行采样， 这并不是最好的方式，最理想的方式是在整个周期都进行采样，然后 进行平均，得到整个周期的平均电压。

这个方法在理论上是可行的，但实际操作时会面临一个问题是ADC本身的 量化误差可能会超过单个周期内输出电压的波动，使得这种方法毫无意义。

■作为一种折中，需要根据转换器的拓扑，研究转换器在何时的输出电 压接近其周期平均电压。

忽略输出电压单周期纹波

■如果忽略输出电压单周期纹波，那么采样时刻的选取就变简单了，一 个合适的采样时刻是采样后，完成后续的所有工作，恰好更新下一周 期占空比

按照这种方式，环路延迟将减少到Ts，而不是2Ts。

离散化方法的选择

■由前面的分析可知，整个环路的延迟等于，2Ts的延迟，加上模块传递 函数自带的相位改变。

比如传递函数分母出现s或1-z^-1，意味着相位要推迟。

■但是光考虑这些还不够，还要注意到，在将连续传递函数进行离散化 的时候，离散化这个过程可能会引入延迟。

如果选择加零阶保持器法，那么会引入半个周期的延迟；

如果选择双线性变换法，那么不会引入延迟，因此，在充分考虑了环路延 迟后，应该选择这种离散化方法，以免得到的离散传递函数不能表达真实 的情况。

考虑延迟后的环路模型

■下图示出了延迟为Ts时的环路模型：

环路延迟的的影响

■从之前的分析可以看到，如果环路有Ts的固有延迟，这Ts的固有延迟 在f=fs处制造了360度的相位延迟，环路稳定性将下降。

■因此，相位交点必须足够低，远离fs处，这样，这Ts的影响将降低， 按照前面的经验，100K的fs，将增益交点定在10K，相位交点也在10K 附近，离100K足够远，可以消除这个延迟的影响。

计算H的传递函数

■H的传递函数很简单：

Hk=K；

Hd=z^-1；

H=Hk*Hd；

计算G的传递函数

■G的传递函数如下：

Gpwm=1/V_M；

Gcov，Gaalpf；

G=Gpwm*Gcov*Gaalpf；

■将G转成连续传递函数：Gd=c2d(G, 1e-5,’tustin’)

C部分的传递函数

■C部分通常被称为补偿器，因为G和H已知，只能用C来调节环路性能。 C部分由一个PID和一个LPF串联而成，PID提供2个零点和一个极点， LPF提供2个极点和1个零点，两者串联后得到3零3极。

PID传递函数如下：

LPF传递函数如下：

注意LPF中存在一个-1处的零点，这个零点在z平面单位圆的最左边，属于 最高频的位置，对系统响应无影响，可以忽略。

LPF中的零点

■z域是离散抽象后得到的效果，要搞清楚-1处的零点的影响，需要联合 s域来考虑。

将s域传递函数转成z域有几种方法，不同的方法得到的零极点数量不一样。

将传递函数H=1/s转成z域传递函数：

由上可见，使用加zoh法，得到的传递函数其在原点有一个极点，和原s域 传递函数一样，使用双线性变换法后，在最高频有一个零点。

由此也可以看出，z 1这个零点完全是由于不同的离散化方法导致的。

PID和LPF系数的获取

■使用matlab可以得到C(PID LPF)的传递函数，得到传递函数后，需要 得到PID和LPF的系数。

PID和LPF的系数有2种表示方式，一种方式就是得到3个零点和3个极点， 然后将这3个零点和极点分配到PID和LPF中去。

另一种方式就是将零极点转换为KP，KI，KD，A1，A2，A3的值，这是我 们最终需要的值，这些值可以直接写入到硬件寄存器中。

将零极点转为多项式系数

■联立2个式子，可以得出多项式系数的表达式：

PID加LPF v.s. III型补偿器

■PID加LPF这种3零3极的结构和III型补偿器是完全相同的，因此，可以 刻直接在z域设计PID和LPF，也可以在s域设计III型补偿器，转到离散 域，甚至可以直接将设计好的III型补偿器的参数转化为PID和LPF的系数。

通过波特图确定参数的原则

■PID和LPF一共提供了2个有效零点和3个有效极点，在设计时，先设 C(PID LPF)的传递函数为1，画出开环传递函数的波特图，然后在此 波特图上添加零极点，同时通过上移或下移增益曲线来调整0频增益。

这些操作可以在matlab的工具箱sisotool中完成。

在添加零极点和调整增益时通常遵循如下的原则：

将开环截止频率定在开关频率的1/5-1/20，比如100KHz的切换频率，截止频率定 位10K；

截止频率出的增益曲线斜率设为-20dB；

相位裕度定为45-70，增益裕度定为10dB以上；

低频增益尽量高。

插入误差放大器

■按照前面的环路模型进行设计时，会发现一个问题，系统的开环增益 太小，直流增益甚至会小于1。这个问题的原因在于环路中没有任何误 差放大装置，虽然PID中的P能够承担放大任务，但由于寄存器位宽的 限制，P不可能做到很大，因此放大任务必须由专门的增益单元承担。

增益单元可以插在环路中任意位置，但理想的位置是在数字部分，比如插 在DSP内PID之前。

这个增益插入后，会导致输入到PID的数字码进一步加长，而稳定工作时输 入到PID的误差信号是很小的，因此在设计电路时，可以控制误差信号的大 小，当误差信号超过某一值时，溢出成最大值。

设误差信号为[9:0]，当误差信号进行放大，比如x256倍，此时信号向左移位8位， 如果左移8位后信号大于1024，那么直接将误差视为11_1111_1111。

甚至可以设计成可变增益放大，当信号的高位为0越多，放大的倍数越大，以保证 不会有溢出丧失线性度的问题。其中最大的放大倍数是定值，这样环路只要在最 大放大倍数下是稳定的，就可以在所有放大倍数下稳定。

使用sisotool设计补偿器

■利用sisotool做设计非常方便，通常按照如下步骤：

在Archiecture标签中选择好环路形式，输入已知的传递函数；

利用直接编辑法，图形设计法，软件辅助设计法设计补偿器的传递函数；

将设计结果用图形显示出来，检验设计结果，Analysis Plot标签中提供了丰 富的分析图，能够分析开环，闭环等多种系统的响应。

SISOTOOL启动

■在matlab主命令窗口中输入sisotool，即可启动sisotool

输入环路模型

直接编辑传递函数

■直接编辑传递函数本质上就是手工添加和编辑零极点，编辑后传递函 数会立即更新，至于传递函数的形式，可以在主菜单：Edit > SISO Tool Preferences中编辑。

利用图形法设计传递函数

■这是最主要和最常用的方法，其方法就是在开环传递函数的波特图和 根轨迹上添加，删除，移动零极点和增益，sisotool会根据修改完的结 果自动产生补偿器的传递函数。

在标签Graphical Tuning中可以选择使用何种图，默认是3种：根轨迹图， 开环波特图，闭环波特图，通常不需要修改。

利用开环波特图设计传递函数

■一开始，补偿器传递函数为1，开环波特图显示的是G*H的传递函数， 为了进行补偿，加入零点和极点，G和H的零极点显示为蓝色，不可修 改，用户加入的零极点显示为红色，可以删除，移动。

在菜单Edit中有undo和redo。

利用根轨迹图设计传递函数

■和波特图类似，也可以利用根轨迹图来设计，同样可以添加删除移动零极点，而且还可以移动k值，点击图中紫色的小方块，可以移动，将k设为不同的值，移动的过程中，波特图也会实时关联更新。

软件辅助设计传递函数

■软件辅助设计是利用matlab内置的机制全自动产生补偿器传递函数，或者交互式的设计，给出带宽和相位裕量要求，软件自动产生传递函数。

这个方法非常适合对环路理解不够深刻的用户，通过软件的辅助，逐渐加深理解，最终得到合适的设计。

系统性能分析图

■设计时，打开系统性能分析图很重要，可以随时观察当前补偿器导致的结果，随时调整设计。

软件使用技巧

■在设计时，一定要打开图形设计界面和系统性能分析界面，这样无论是直接设计还是软件辅助设计，图形都会实时更新，随时监视系统性能。

■对于经验欠缺的用户，刚开始使用软件辅助设计，随后利用图形调整是一个比较好的做法。

利用Matlab的Help

■Matlab的Help是很强大的，与其记住大量的命令格式，不如记住这些命令的专业术语，然后在help中搜索。

■比如要将连续传递函数转为离散传递函数，记住其命令术语为c2d，使用时，在help中搜索c2d，就能得到c2d的完整语法。而且记住c2d了后，也就知道了d2c，d2d命令。

Matlab常用命令

■表示传递函数的方法：

tf：分子分母用多项式的方法表示传递函数，加上采样时间就是离散，不加是连续；

zpk：用零极点的方法表示传递函数，加上采样时间就是离散，不加是连续；

注意tf和zpk既能用来直接描述传递函数，也能用来将传递函数从一个形式转化为另一个形式，省的手工乘因子和做多项式分解。

如果传递函数中含有e-sT这样的项，就只能手工输入多项式了，在输入多项式之前，需要运行s=tf(‘s’)或z=tf(‘z’,T)，确保matlab能识别出多项式中的s和z，

■绘图方法：

bode：波特图；margin：带裕量的波特图；step：阶跃响应；impulse：冲激/脉冲响应；rlocus：根轨迹；