示例：简单的两层神经网络
假设我们有一个简单的神经网络，包括一个输入层、一个隐藏层和一个输出层。
- 输入层
- 隐藏层：权重为 1 ，激活函数为
- 输出层：权重为 2 ，损失函数为
一、 前向传播
计算隐藏层输出：
1 = ( 1 )
计算输出层输出：
2 = 2 1
2 = ( 2 )
其中 是输出层的激活函数（例如Sigmoid或Softmax）。
计算损失：
= Loss ( 2 , )
其中 是真实标签。
2.反向传播计算损失对输出层权重的梯度 ∂ / ∂ 2
计算输出层误差：
2 = ∂ ∂ 2 ⋅ ′ ( 2 )
这里， ′ 是输出激活函数的导数。
计算权重梯度：
∂ / ∂ 2 = 2 ⋅ 1
计算隐藏层权重的梯度 ∂ / ∂ 1
计算隐藏层误差：
1 = ( 2 2 ) ⋅ ′ ( 1 )
这里， ′ 是隐藏层激活函数的导数。
计算权重梯度：
∂ / ∂ 1 = 1 ⋅
3.更新权重
使用计算得到的梯度更新权重：
2 = 2 − ∂ / ∂ 2
1 = 1 − ∂ / ∂ 1
其中 是学习率。
通过这个例子，我们看到了如何使用链式法则计算损失对各层权重的梯度。前向传播用于计算输出和损失，而反向传播则利用链式法则将误差从输出层向后传播，以更新每一层的权重。这个过程是深度学习模型训练的基础。
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