如何理解极限的定义

编程汇总 • 2025-08-03 08:33 • 阅读 61

极限是研究变量变化的过程，并通过变化的过程来把握变化的结果。一般来说一个函数某个点的结果是由函数确定了的，所以一个函数某个点的值一般就等于其极限。除非是提前，把那个点给挖走了，否则在那个变化过程中是没有什么办法能阻止变化的趋势的。但是也不能说极限就一定等于其函数值。

要理解好极限的定义，可以先从简单的，描述性的定义入手，然后再转到严格的数学定义上去。

描述性定义是这样的：当自变量x无限接近于定点 x0 时，函数 f(x) 无限接近于定值 a,那么定值 a 就称做函数 f（x）在x0的极限，记做 f ‘(x) = a.

换成更通俗的语言：你这样变的时候，我就那样变。

但是这个定义虽然形象，但是无限接近是怎么个接近，这种词语只能用在文学创作上，不能用在数学定义上。
所以这里的关键是如何用数学语言来表达无限接近。

换个思维，无限接近实际上就是距离越来越少。所以可以将“自变量x无限接近于定点 x0”，转变成动点x离定点x0的距离 |x-x0|越来越小 ,如果 |x-x0| < a ,而且a又是可以要多小就有多小的正数，就用数学表达了无限接近的意思了。

我们再来看看极限的标准数学定义：

设函数是f(x)在某去心邻域有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数@（无论多么小），总存在正数&，使得当x满足不等式的时候0<|x-x0|<&时，对应的函数值满足：

|f(x)-A|<@ ,那么常数A就叫做f(x)的极限。

可以把这个定义的句子顺序调一下，就看的更清楚：

如果 0< |x – x0| < & （&为任意正数），|f(x)-A| < @ （@ 任意小），常数A 就叫做 f(x) 的极限。

OK，就是这么简单，理解这个定义的关键点就是明白无限接近某个数等价于用一个动点减去哪个定点的绝对值来表示。