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什么是自抗扰控制

龙格库塔

辅助函数

跟踪微分器

扩张状态观测器

未知真实状态

控制仿真

本文利用跟踪微分器（TD）+ 扩张状态观测器（ESO）+ 非线性 PID 实现了受外扰的未知系统的控制，使得受控系统输出了期望的信号。

无超调，无震颤，参数好调节，堪称完美控制器！！！

什么是自抗扰控制

自抗扰技术的提出是为了解决PID控制技术的几个缺点:

要求缓变的输出变量跟踪跳变的控制目标是不合理的;

误差的微分信号不好提取, 易受噪声影响;

P、I、D的线性组合不是最优的组合方式;

误差积分I的引入带来很多副作用, 比如使得闭环变得迟钝、产生震荡等.

针对以上问题, 在自抗扰控制中分别使用以下策略来克服:

安排控制目标的“过渡过程”;

使用跟踪微分器(Tracking Differentiator, TD)提取“微分”;

寻找合适的非线性组合;

使用扩张状态观测器来估计总扰动.

以上四点中, 1和3可以视为工程上的优化策略, 而2和4的核心技术都是跟踪微分器.

跟踪微分器的功能为: 输入信号 v ( t ) v(t) v(t), 输出 n n n个信号 z 1 ( t ) , … , z n ( t ) z_1(t),\ldots,z_n(t) z1​(t),…,zn​(t). 其中 z 1 ( t ) z_1(t) z1​(t)跟踪信号 v ( t ) v(t) v(t), 而 z i ( t ) = z ˙ i − 1 ( t ) , i = 2 , 3 , … , n z_i(t)=\dot{z}_{i-1}(t), i=2,3,\ldots,n zi​(t)=z˙i−1​(t),i=2,3,…,n.

扩张状态观测器本质上也是一个跟踪微分器.

自抗扰控制中主要讨论的控制对象为受外扰的不确定对象:
x ( n ) = f ( x , x ˙ , … , x ( n − 1 ) , t ) + w ( t ) + u ( t ) x^{(n)} = f(x,\dot{x},\ldots,x^{(n-1)},t) + w(t) + u(t) x(n)=f(x,x˙,…,x(n−1),t)+w(t)+u(t)其中 f ( x , x ˙ , … , x ( n − 1 ) , t ) f(x,\dot{x},\ldots,x^{(n-1)},t) f(x,x˙,…,x(n−1),t)为未知函数, w ( t ) w(t) w(t)为未知的外扰, u ( t ) u(t) u(t)为控制量.

通常把 x , x ˙ , … , x ( n − 1 ) x,\dot{x},\ldots,x^{(n-1)} x,x˙,…,x(n−1)作为系统状态, 而扩张状态就是把 x ( n ) x^{(n)} x(n)也视为系统状态.

若 y = x ( t ) y = x(t) y=x(t)为观测量, 那么 x ˙ , … , x ( n ) \dot{x},\ldots,x^{(n)} x˙,…,x(n)就是观测量的各阶导数. 利用跟踪微分器, 可以直接根据 y y y将系统的各阶导数估计出来, 即实现了扩张状态的观测.

而估计出 x ( n ) x^{(n)} x(n)等价于将系统的未知动态 f ( x , x ˙ , … , x ( n − 1 ) , t ) f(x,\dot{x},\ldots,x^{(n-1)},t) f(x,x˙,…,x(n−1),t)和外扰 w ( t ) w(t) w(t)的总和估计出来了.

系统的未知动态和外扰之和称为总扰动.

在控制量 u ( t ) u(t) u(t)中将系统的总扰动抵消, 配合误差反馈, 就实现了自抗扰控制.

龙格库塔

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

%matplotlib inline



def dxdt(F, X, t, h=1e-2):

    assert(len(F)==len(X))

    X = np.array(X)

    K1 = np.array([f(X, t) for f in F])

    dX = h*K1/2

    K2 = np.array([f(X+dX, t+h/2) for f in F]) 

    dX = h*K2/2

    K3 = np.array([f(X+dX, t+h/2) for f in F])

    dX = h*K3 

    K4 = np.array([f(X+dX, t+h) for f in F])



    dX = (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)*h/6



    return dX, np.array([f(X, t) for f in F])

辅助函数

def sat(x, delta):

    return  x/delta if np.abs(x)


def fal(x, alpha=0.5, delta=0.1):

    return  x/np.power(delta,1-alpha) if np.abs(x)


fal 函数具有小误差时高增益，大误差是低增益的特性，对抑制震颤发挥了重要作用。

跟踪微分器

期望输出为方波信号 v ( t ) v(t) v(t)

# target signal

def v(t):

    if t < 10:

        return np.sign(np.sin(0.8*t))  

    elif t < 20:

        return 2*(0.5*t-int(0.5*t)-0.5)

    else:

        return np.sin(0.8*t)



def v1(X, t):

    x1, x2 = X[0], X[1]

    return x2



def v2(X, t):

    x1, x2 = X[0], X[1]

    return -R*sat(x1 - v(t) + np.abs(x2)*x2/(2*R), delta)

扩张状态观测器

# eso

# 极点配置

p = np.poly1d([-15,-15,-15],True)

_, b1, b2, b3 = tuple(p.coef)



def g1(X, t):

    x1,x2,x3 = X[0], X[1], X[2]    

    return x2 - b1 * (x1 - y)  # y is model output



def g2(X, t):

    x1, x2, x3 = X[0], X[1], X[2]    

    return x3 - b2 * (x1 - y) + u



def g3(X, t):

    x1, x2, x3 = X[0], X[1], X[2]    

    return -b3 * (x1 - y)

未知真实状态

x ¨ = − x 3 − x − 0.2 x ˙ + w ( t ) + u ( t ) \ddot{x} = -x^3-x-0.2\dot{x} + w(t) + u(t) x¨=−x3−x−0.2x˙+w(t)+u(t)
其中 w ( t ) w(t) w(t) 为外部扰动， u ( t ) u(t) u(t) 为控制输入。

# hidden uncertain model

def f1(X, t):

    x, y = X[0], X[1]    

    return y



def f2(X, t):

    x, y = X[0], X[1]

    return -x*x*x - x -0.2*y + w(t) + u



def w(t):

    return 0.2 * np.sign(np.cos(t))  # perturbation

控制仿真

R = 90  # params in sal

delta = 0.001  # params in sal

h = 0.01  # discrete time unit

T = 20  # total time

N = int(T/h)  # num of points

V = [0., 0.]  # TD signal

X = [0., 0.]  # true state

Z = [0., 0., 0.]  # ESO 

u = 0  # initial control input



actual_output = []

expect_output = []

uncertain_dynamics = []



for i in range(N):

    t = i*h  # time



    dX, _ = dxdt([f1,f2],X,t,h)

    X = X + dX

    y = X[0]  # model output



    dV, _ = dxdt([v1,v2],V,t,h)

    V = V + dV



    dZ, _ = dxdt([g1,g2,g3],Z,t,h)

    Z = Z + dZ



    e_p = V[0] - Z[0]

    e_d = V[1] - Z[1]



    fep, fed = fal(e_p), fal(e_d)



    u = 10*fep + 50*fed - Z[2]



    actual_output.append(y)

    expect_output.append(V[0])

    uncertain_dynamics.append(Z[2])





plt.plot(actual_output, color='black', label='output')

plt.plot(expect_output, color='red', linestyle='--',label='expect')

plt.plot(uncertain_dynamics, color='green', linestyle='--',label='uncertain state')

plt.legend(loc='lower right')

plt.show()


妈妈再也不用担心我调不好PID啦😎