非线性方程(一)

编程汇总 • 2025-01-17 18:40 • 阅读 3

此为全书第一章，主matlab入门——通过学习各种插值法：反线性插值、牛顿法之类。

1、diff

>> diff('x^2')



ans =



   -26   -44





>> diff(x^2)

 

ans =

 

2*x

　书上用的是加引号那个版本的，以至于我困了好久。

2、牛顿法

对  f(x) = (x*exp(x))/2 - 2*x^2 进行牛顿插值

解

>> x = 0: 0.05: 3;

>> y = 0.5*x.*exp(x) - 2*x.^2;

>> plot(x,y);grid

牛顿插值实现

1 >> f =inline('(x*exp(x))/2 - 2*x^2');

2 >> fp = inline('exp(x)/2 - 4*x + (x*exp(x))/2');  %f的导数

3 >> x0 = 0.4;

4 >> x0 = x0 - f(x0)/fp(x0)

5 

6 x0 =

7 

8     0.3611

其中line 4为公式。

3、误差初探

关于有限精度的作用可以用解析方法进行研究，也是必须讨论的内容，但这里只研究其对割线法和有限差分牛顿法的影响。

考虑后一种算法。

example：

首先将其写成拟牛顿法的形式，xk+1 = xk – f(xk)/sk ,
其中
sk
= (f(x
k
+h) – f(x

k
))/h；

现在用牛顿法近似f(x)在 x=1的导数。

>> x=1; h=0.1;

>> (log(x+h) - log(x))/h



ans =



    0.9531

对于0.1的步长，这个结果还算合理【书上原话= =

>> h=10.^(-(1:20))

>> (log(x+h) - log(x))./h



ans =



  Columns 1 through 5



    0.9531    0.9950    0.9995    1.0000    1.0000



  Columns 6 through 10



    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000



  Columns 11 through 15



    1.0000    1.0001    0.9992    0.9992    1.1102



  Columns 16 through 20



         0         0         0         0         0



>> plot(h, abs(ans-1), 'r'), grid

有图可以看到，误差有一个时期是下降的，从大约h = 1E-12开始，误差又开始增加。

这里主要指出，当h很小时，上面的计算中有两个因素在作怪：一个是分子中两个接近相等的数之间的减法，另一个是用很小的数作除数。

产生这些原因在于计算机只能表示数字的有限多位。

附几段关于计算机精度代码

>> inf*2

ans =    Inf



>> inf -inf

ans =    NaN



>> eps

ans =    2.2204e-16





>> 1+eps

ans =    1.0000



>> 1+eps == 1

ans =    0







>> 1+eps/2

ans =      1



>> ans == 1

ans =     1







>> (1+eps/2) + eps/2

ans =    1



>> ans == 1

ans =    1







>> 1 + (eps/2 + eps/2)  %计算机加法不满足结合律

ans =    1.0000



>> ans == 1

ans =     0

>> x1= 0.1; x2= pi/2;

>> abs(sin(x1+err)- sin(x1))



ans =  9.9500e-11



>> abs(sin(x2+err)- sin(x2))



ans =  0



%在x接近(pi/2)【此时导数为0】时sin(x)的求值要比x接近于零时的求值更加精确，因为零点的导数为1.

%可以看到f的导数(变化速度)越大，误差也越大

>> err = 1e-6



err =    1.0000e-06



>> abs(sin(x1+err)- sin(x1))



ans =    9.9500e-07



>> abs(sin(x2+err)- sin(x2))



ans =    5.0004e-13

非线性方程(一)

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