极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解对这个函数取极限会很有意思

对这个函数取 极限 会很有意思。我先把它画出来,之后我们会做一些练习。

极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

这里要求出x趋向于a时,函数的极限是多少。我们把表达式写一下:

\lim_{x \to a}f(x)

假设图上这一点是L,x从任一边趋向a时,比如从左边,这时f(x)趋向于什么。

x在这个绿色箭头,可以看到,f(x)是趋向于L的,如图:

极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

由于我们求极限,必须保证a左右两边的极限都是同一个数。

所以,我们也要从右一边接近a,选这个红色的点在这个f(x)的线上,随着x越来越接近a点,

f(x)趋向于L,当x趋向于a时的极限为L

极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

我想我们已经理解这个定义了。

\lim_{x \to a}f(x)=L

 但这并不是很实际上相对于极限的概念,这样的说法很不精确。

我目前所说的仅限于x趋向于某个数时,f(x)趋近于什么。

所以本文章中,我会尝试介绍一种新的极限的定义。

这种定义比简单的,当x趋向某个值,f(x)趋向于什么的定义方式,要精确很多。

新的定义就是:

\lim_{x \to a}f(x)=L 这个式子意义在于,我总是可以给出这个点的一个范围,这里谈到了范围。

我并不是针对整个定义域而言,这里说的范围是像规定这么一段距离。

只要在这范围之内可以保证f(x)的值和L的距离,始终不会超过某个给定值。

你们可以不相信我并怀疑f(x)能不能始终位于和L相距0.5的范围内。

你们给出的距离是0.5,此时,我必须能找到点a附近的一段范围。

确保f(x)值始终和L相距0.5以内,也就是说f(x)始终位于这段范围内,只要x位于以a为中心的那段范围,

只要满足你们所给出的范围,那么f(x)肯定能达到你们的要求。

我们画个大图,重新说明一下:

极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

这个式子的意义就是:你给我距L的任何一个距离,实际上我们称这段距离为\epsilon,与最开始提出的定义相对应。

f(x)与L的距离不超过\epsilon\epsilon可以是任何大于0的实数,所以这里的这段距离就是\epsilon(\epsilon)。如图:

极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

对于给出的任何 \epsilon 任何实数,这点是L + \epsilon,这点是L - \epsilon

极限的 \epsilon- \delta 定义是说,不论 \delta 是多少,总可以在a的附近确定一段范围并称之为 \delta。如图:

 极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

只要在 a+\delta 和 a-\delta 之间。选取一个x值,只要x位于这段范围就可以保证与x相对应的f(x)位于你所给出的范围。

思考一下,你们会觉得有道理!

实质上说,我可以无限接近极限值,只要,我所说的无限接近是指你们可以任意给出一个 \epsilon值。

通过给出一个需要趋近的点,附近的一段范围f(x)就可以无限接近极限值,

只要是在a附近的这段范围内,选取x的值,只要是在这里取一个x值,我就可以保证f(x)位于你们所指定的范围。

为了更加具体一点:

假设,x的位置我们一律换成具体的数字来表示,假设这个是L = 2a = 1。如图:

极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

也就是求x趋向于1时,f(x)的极限是多少?

\lim_{x \to 1}f(x)=2 

那里的f(x)值是2。你们可以给我任何一个数字。假定你们想用几个具体例子来验证一下,

比如想要f(x)位于距2这点0.5的距离范围内,也就是在1.5和2.5之间。

那么只要x选在x可以任意接近,但只要x选在对于这个函数,假定是在0.9和1.1之间,

那么在这个例子中,\delta 和极限点的距离只有0.1。只要在和1相距0.1范围内选取x就可以确保f(x)位于要求的范围。如图:

极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解

希望你有初步的理解。现在我用 \epsilon 和 \delta 来给出定义,实际上在课本中见到的就是这种。

下一篇文章开始用这个定义来证明极限。


——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。 

今天的文章极限 (ε, δ)定义_ε—n定义怎么理解分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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