拉普拉斯变换求解非线性微分方程_矩阵的拉普拉斯展开式

一、图论相关概念

图的概念：图用点代表各个事物,用边代表各个事物间的二元关系。所以，图是研究集合上的二元关系的工具，是建立数学模型的一个重要手段。

1.1 无向图概念

实例：

给定无向图G＝<V,E>，其中

                                                               V＝{v1,v2,v3,v4,v5}，
                                    E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)}.

1.2 有向图概念

实例：

给定有向图D=<V,E>，其中

                                                                       V＝{a,b,c,d}，

                                                 E＝{<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,b>,<d,c>,<c,d>}。

1.3 关联与关联次数、环、孤立点

对于无向图而言：

对于无向图而言：

1.4 顶点的度数 

实例：

                         无向图度数                                                                                有向图的入度和出度

二、拉普拉斯矩阵矩阵

要讲拉普拉斯矩阵，就要从拉普拉斯算子讲起，要讲拉普拉斯算子，就要从散度讲起。

2.1 通量与散度

首先我们来看一道初中物理题：

显然，这道题的答案应该是 

此时我们指定曲面每一点处的法向量为该点朝外的向量：

红色箭头为法向量，注意在上面的例子中风与帆的比喻并不完全恰当，在计算通量的时候一般我们认为向量场会穿过曲面，而非被挡住。于是我们有

对于上图，根据向量乘法的基本原理，聪明的我们很容易知道，对于射入曲面的那一部分（左半边），其通量为负，而对于射出曲面的那一部分（右半边），其通量为正。

更进一步的思考我们可以得出，相互抵消后，这一曲面上的总通量为0。

接下来我们看下一张图：

根据上面的分析，我们不难看出，在红圈所在圆心处的散度为负，而绿圈圆心处的散度为正。

结合上述定义，我们知道，散度衡量了一个点处的向量场是被发射还是被吸收，或者说，对于散度为正的点，散度越大，意味着相应的向量场越强烈地在此发散，而对于散度为负的点，意味着相应的向量场在此汇聚。

2.2 拉普拉斯算子

2.3 图论下的函数

2.4 拉普拉斯算子与拉普拉斯矩阵

注释：此部分来源于知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/

2.5 拉普拉斯矩阵的含义

今天的文章
拉普拉斯变换求解非线性微分方程_矩阵的拉普拉斯展开式分享到此就结束了，感谢您的阅读。