matlab实现模拟退火算法

                              模拟退火算法

物理退火原理概述：

对于固体，微观粒子的无序度较大，为了使粒子排列更为有序，就需要对其加热，加高到一定温度的过程中，固体的内能增大，粒子热运动更加剧烈。然后逐渐降温，在每一温度梯度中，粒子逐渐变得有序，随着温度的下降，粒子运动不再那么剧烈，最后变为趋于有序的状态。

模拟物理的退火过程，创造了一种寻找全局最优解的近似解的一种新算法——-模拟退火算法。

我们先来看一个具体的问题：TSP(旅行商问题)

有n个城市，一个商人在A城市，为了能到每一个城市宣传自己的商品，他要寻找一个最短的路径，并且最后回到A城市。

问题分析：在A城市，下一步有（n-1）种选择，假设到达B城市，那么下一步还有（n-2）种选择…最后回到A城市，总共有（n-1）！种路径可供选择，那么哪一种最短呢？最直接的方法就是把每一种路径的距离都算一下，再做个比较取最小值不就好了，可是当n取比较大的数值（比如北京，上海，杭州，承德.等34个城市，33！=8乘10^36,也许你会觉得这个数并不‘大’，那么我们来具体算一下，假设你每秒钟能够计算出一种方案的结果，并且一天24小时一直以这种速度计算，那么在有生之年，假设还能活100年，能够计算完的方案数是：100乘365乘24乘60乘60=3乘10的9次方，如果计算机每秒能完成24个城市的枚举，在这一百年里，也只不过算出了7乘10的10次方个）时，显然此方案不可行。那么又该如何做呢？目前还没有一种算法能够精确求出最优解，只能通过模拟退火算法求出最优解的近似解。

为了能够找到全局的最优解，需要在解空间中遍历搜索，而通常情况下当在已知解的左右找到的新解不如已知解好的话，会认为已知的解就是最优的解，但比较的空间是在一个很小的邻域里面，这个不一定是全局的最优解，所以为了跳出原来的那个小邻域，就要以一定的概率接受这个不如已知解好的新解，这就是Metropolis准则。这个概率是（见图二下边），K是玻尔兹曼常数，K=1.38乘10的-32次方。可以看出，当新解大于已知解时，随着温度的逐渐降低，这个概率逐渐下降趋于零，也就是温度越低，越不太可能接受非最优解。

算法描述：
初始温度设定，初始解的设定，恒温迭代次数的确定，温度最低值的确定，
恒温搜索新解的结果要记录下来，当完成内层迭代后，需要计算一下保存的这几个结果的方差，判断是否趋于稳定（局部最优），是的话跳出循环，执行降温，不是的话继续本层温度的迭代。实际上内层与外层都应用到了Metropolis准测接受非最优解，只不过接受的概率不一样，温度高的接受的概率大，温度低的接受的概率小。

% 模 拟 退 火 算 法 ( Simulated Annealing Algorithm ) MATLAB 程 序
%模拟火算法（MATLAB 实现）
clear ;
% 程 序 参 数 设 定
Coord = ... % 城 市 的 坐 标 Coordinates
[ 0.6683 0.6195 0.4 0.2439 0.1707 0.2293 0.5171 0.8732 0.6878 0.8488 ; ...
0.2536 0.2634 0.4439 0.1463 0.2293 0.761 0.9414 0.6536 0.5219 0.3609 ] ;
t0 = 1 ; % 初 温 t0
iLk = 20 ; % 内 循 环 最 大 迭 代 次 数 iLk
oLk = 50 ; % 外 循 环 最 大 迭 代 次 数 oLk
lam = 0.95 ; % λ lambda
istd = 0.001 ; % 若 内 循 环 函 数 值 方 差 小 于 istd 则 停 止
ostd = 0.001 ; % 若 外 循 环 函 数 值 方 差 小 于 ostd 则 停 止
ilen = 5 ; % 内 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值 个 数
olen = 5 ; % 外 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值 个 数
% 程 序 主 体
m = length( Coord ) ; % 城 市 的 个 数 m
fare = distance( Coord ) ; 
path = 1 : m ; % 初 始 路 径 path
pathfar = pathfare( fare , path ) ; % 路 径 费 用 path fare
ores = zeros( 1 , olen ) ; % 外 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值
e0 = pathfar ; % 能 量 初 值 e0
t = t0 ; % 温 度 t
for out = 1 : oLk % 外 循 环 模 拟 退 火 过 程
ires = zeros( 1 , ilen ) ; % 内 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值
for in = 1 : iLk % 内 循 环 模 拟 热 平 衡 过 程
[ newpath , ~ ] = swap( path , 1 ) ; % 产 生 新 状 态
e1 = pathfare( fare , newpath ) ; % 新 状 态 能 量
% Metropolis 抽 样 稳 定 准 则
r = min( 1 , exp( - ( e1 - e0 ) / t ) ) ;
if rand < r
path = newpath ; % 更 新 最 佳 状 态
e0 = e1 ;
end
ires = [ ires( 2 : end ) e0 ] ; % 保 存 新 状 态 能 量
% 内 循 环 终 止 准 则 ：连 续 ilen 个 状 态 能 量 波 动 小 于 istd
if std( ires , 1 ) < istd
break ;
end
end
ores = [ ores( 2 : end ) e0 ] ; % 保 存 新 状 态 能 量
% 外 循 环 终 止 准 则 ：连 续 olen 个 状 态 能 量 波 动 小 于 ostd
if std( ores , 1 ) < ostd
break ;
end
t = lam * t ;
%模拟火算法（MATLAB 实现）
end
pathfar = e0 ;
% 输 入 结 果
fprintf( '近似最优路径为：\n ' )
%disp( char( [ path , path(1) ] + 64 ) ) ;
disp(path)
fprintf( '近似最优路径费用\tpathfare=' ) ;
disp( pathfar ) ;
myplot( path , Coord , pathfar)

function [ fare] = distance( coord )
% 根 据 各 城 市 的 距 离 坐 标 求 相 互 之 间 的 距 离
% fare 为 各 城 市 的 距 离 ， coord 为 各 城 市 的 坐 标
[ ~ , m ] = size( coord ) ; % m 为 城 市 的 个 数
fare = zeros( m ) ;
for i = 1 : m % 外 层 为 行
for j = i : m % 内 层 为 列
fare( i , j ) = ( sum( ( coord( : , i ) - coord( : , j ) ) .^ 2 ) ) ^ 0.5 ;
fare( j , i ) = fare( i , j ) ; % 距 离 矩 阵 对 称主对角线为零
end
end
end

function [ objval ] = pathfare( fare , path )
% 计 算 路 径 path 的 代 价 objval
% path 为 1 到 n 的 排 列 ，代 表 城 市 的 访 问 顺 序 ；
% fare 为 代 价 矩 阵 ， 且 为 方 阵 。
[ m , n ] = size( path ) ;
objval = zeros( 1 , m ) ;
for i = 1 : m
for j = 2 : n
objval( i ) = objval( i ) + fare( path( i , j - 1 ) , path( i , j ) ) ;
end
objval( i ) = objval( i ) + fare( path( i , n ) , path( i , 1 ) ) ;
end

end

function [ ] = myplot( path , coord , pathfar ) 
% 做 出 路 径 的 图 形 
% path 为 要 做 图 的 路 径 ，coord 为 各 个 城 市 的 坐 标 
% pathfar 为 路 径 path 对 应 的 费 用 
len = length( path ) ; 
clf ; 
hold on ; 
title( [ '近似最短路径如下，费用为' , num2str( pathfar ) ] ) ; 
plot( coord( 1 , : ) , coord( 2 , : ) , 'ok'); 
pause( 3 ) ; 
for ii = 2 : len 
plot( coord( 1 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) , coord( 2 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) , '-b'); 
x = sum( coord( 1 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) ) / 2 ; 
y = sum( coord( 2 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) ) / 2 ; 
text( x , y , [ '(' , num2str( ii - 1 ) , ')' ] ) ; 
pause( 0.4 ) ; 
end 
plot( coord( 1 , path( [ 1 , len ] ) ) , coord( 2 , path( [ 1 , len ] ) ) , '-b' ) ; 
x = sum( coord( 1 , path( [ 1 , len ] ) ) ) / 2 ; 
y = sum( coord( 2 , path( [ 1 , len ] ) ) ) / 2 ; 
text( x , y , [ '(' , num2str( len ) , ')' ] ) ; 
pause( 0.4 ) ; 
hold off ; 
end

function [ newpath , position ] = swap( oldpath , number )
% 对 oldpath 进 行 互 换 操 作
% number 为 产 生 的 新 路 径 的 个 数
% position 为 对 应 newpath 互 换 的 位 置
m = length( oldpath ) ; % 城 市 的 个 数
newpath = zeros( number , m ) ;
position = sort( randi( m , number , 2 ) , 2 ); % 随 机 产 生 交 换 的 位 置
for i = 1 : number
newpath( i , : ) = oldpath ;
% 交 换 路 径 中 选 中 的 城 市
newpath( i , position( i , 1 ) ) = oldpath( position( i , 2 ) ) ;
newpath( i , position( i , 2 ) ) = oldpath( position( i , 1 ) ) ;
end
end

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