matlab伽马分布,gamma函数 Gamma/伽马函数，伽马分布

伽玛函数(Gamma函数)，也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

gamma函数——Gamma/伽马函数，伽马分布

一。[MathProcessingError]Γ\Gamma分布

指数分布是两次事件发生的时间间隔

[MathProcessingError]Γ\Gamma分布是n倍的指数分布

即，[MathProcessingError]Γ\Gamma分布表示发生n次([MathProcessingError]α\alpha次)事件的时间间隔的概率分布

可以直观地认为[MathProcessingError]Γ\Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本

[MathProcessingError]Possion(X=k|λ)=λke−λk!Possion(X=k|\lambda)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}

=>将[MathProcessingError]λ\lambda转为x

[MathProcessingError]Gamma(x|α=k+1)=xαe−xΓ(k+1)=xke−xk!Gamma(x|\alpha=k+1)=\frac{x^\alphae^{-x}}{\Gamma(k+1)}=\frac{x^ke^{-x}}{k!}

二。[MathProcessingError]Γ\Gamma函数

定义

[MathProcessingError]Γ(s)=∫0+∞e−xxs−1dx(s>0)\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}dx(s>0)

性质

1)s>0时，此反常积分收敛

2)[MathProcessingError]Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)(s>0)，特别[MathProcessingError]Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!

3)当[MathProcessingError]s→0+s\to0+时，[MathProcessingError]Γ(s)→+∞\Gamma(s)\to+\infty

4)[MathProcessingError]Γ(s)Γ(1−s)\Gamma(s)\Gamma(1-s)=[MathProcessingError]πsinπs(0

[MathProcessingError]Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n)=(n-1)!，Gamma(5+1)=5!=120

[MathProcessingError]Γ(s)=(s−1)!\Gamma(s)=(s-1)!，5*Gamma(5)=5*4!=120

三。[MathProcessingError]Γ\Gamma函数应用

[MathProcessingError]k!=∫0∞xke−xdxk!=\int_{0}^{\infty}x^ke^{-x}dx

在[MathProcessingError]Γ(s)=∫0∞xs−1e−xdx\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx中，

作x=u^2的代换可得

[MathProcessingError]Γ(s)=2∫0∞e−u2u2s−1du\Gamma(s)=2\int_{0}^{\infty}e^{-u^2}u^{2s-1}du

再令t=2s-1，即有

[MathProcessingError]∫0∞e−u2utdu\int_{0}^{\infty}e^{-u^2}u^{t}du=[MathProcessingError]12Γ(1+t2)\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1+t}{2}),t>-1

特别，令[MathProcessingError]s=12s=\frac{1}{2}，可得概率论中常用积分

高斯-勒让德求积公式及Matlab实现

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈∑k=0xAkf(xk)\int^{1}_{-1}{f(x)}dx\approx\sum^{x}_{k=0}A_{k}f(x_k)我们知道勒让德多项式[MathProcessingError]Pn+1(x)P_{n+1}(x)的零点就是求积公式的高斯点，形如上式的高斯公式特别的称为高斯-勒让德公式。

若取[MathProcessingError]P1(x)=xP_1(x)=x的零点[MathProcessingError]x0=0x_0=0做节点构造求积公式

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈A0f(0)\int^{1}_{-1}{f(x)}dx\approxA_0f(0)令它对[MathProcessingError]f(x)=1f(x)=1准确成立，即可定出[MathProcessingError]A0=2A_0=2。这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式，再取[MathProcessingError]P2(x)=12(3×2−1)P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)的两个零点[MathProcessingError]±13\pm\frac{1}{\sqrt{3}}构造求积公式

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈A0f(−13)+A1f(13)\int^{1}_{-1}{f(x)}dx\approxA_0f(-\frac{1}{\sqrt{3}})+A_1f(\frac{1}{\sqrt{3}})令它对[MathProcessingError]f(x)=1,xf(x)=1,x都准确成立，有

[MathProcessingError]{A0+A1=2,A0(−13)+A1(13)=0\left\{

\begin{aligned}

&A_0+A_1=2,\\

&A_0(-\frac{1}{\sqrt{3}})+A_1(\frac{1}{\sqrt{3}})=0

\end{aligned}

\right.

由此解出[MathProcessingError]A0=A1=1A_0=A_1=1，从而得到两点高斯-勒让德求积公式

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈f(−13)+f(13)\int^{1}_{-1}{f(x)}dx\approxf(-\frac{1}{\sqrt{3}})+f(\frac{1}{\sqrt{3}})

三点高斯-勒让德公式的形式是

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈59f(−155)+89f(0)+59f(155)\int^{1}_{-1}{f(x)}dx\approx\frac{5}{9}f(-\frac{\sqrt{15}}{5})+\frac{8}{9}f(0)+\frac{5}{9}f(\frac{\sqrt{15}}{5})下表给出常用的高斯-勒让德求积公式的节点和系数

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。如果大家还想了解更多与之有关的信息，欢迎关注我们优词网的官网。