LR模型推导「终于解决」

编程小号 • 2023-03-19 22:30 • 未分类

LR模型推导「终于解决」概念逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大化似然函数方法，运用梯度下降来求解参数，来达到将数据二分目的 sigmoid函数 sigmoid函数：,y为正样本的概率，1-y为负样本的概率 LR模型推导设另那么对应极大似然估计似然函数对数似然函数就是将代入公式对参数求偏导参数更新 …

概念
逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大化似然函数方法，运用梯度下降来求解参数，来达到将数据二分目的
sigmoid函数
sigmoid函数： $y = \frac{1}{1+e^{-(\omega x+b)}}$ ,y为正样本的概率，1-y为负样本的概率
LR模型推导
1. 设
  另 $\pi (x) = P(y=1|x) = \frac{e^{\omega x}+b}{1+e^{\omega x+b}}$
  那么对应 $P(y=0|x) = 1-\pi (x)$
2. 极大似然估计
  似然函数 $L(\omega ) = {\prod_{i=1}^{N}}[\pi (x_{i})]^{y_{i}}[1-\pi (x_{i})]^{1-y_{i}}$
  对数似然函数就是 $L(\omega ) = \sum_{i=1}^{N}[y_{i}*log(\pi (x_{i}))+(1-y_{i})*log(1-\pi (x_{i})]$
  $L(\omega ) = \sum_{i=1}^{N}[y_{i}*log(\frac{\pi (x_{i})}{1-\pi (x_{i})})+log(1-\pi (x_{i}))]$
  将 $\pi (x) = \frac{e^{\omega x}+b}{1+e^{\omega x+b}}$ 代入公式
  $L(\omega ) = \sum_{i=1}^{N}[y_{i}*(\omega x_{i})-log(1+e^{\omega x_{i}})$
3. 对参数 $\omega$ 求偏导
  $\frac{\partial L(\omega ) }{\partial \omega } = \sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\pi (x))*x_{i})$
4. 参数更新
  $\omega = \omega _{0}+a\frac{\partial L(\omega ) }{\partial \omega } = \omega _{0}.+a*x_{i}(y_{i}-\pi (x))$

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