板块 0 – 1 – 微积分（数学前导课）

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在板块0 – 1中，您将学习微积分：函数和极限、微分与积分、复数、多元函数。

在板块 3 – 2 学习结束时，您将能够

Calculus:

• Functions and Limits
• Differentiation and Integration
• Complex Numbers
• Functions of Several Variables

1. 基本概念

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

2. 函数

3. 极限

重要极限公式是limsinx/x=1(x->0)、lim(1+1/x)^x=e（x→∞）

4. 微分

1. 微积分基本公式16个

微积分基本公式16个为：

（1）d( C ) = 0 (C为常数) （2）d( xμ ) = μxμ-1dx （3）d( ax ) = ax㏑adx （4）d( ex ) = exdx （5）d( ㏒ax) = 1/(x*㏑a)dx （6）d( ㏑x ) = 1/xdx （7）d( sin(x)) = cos(x)dx （8）d( cos(x)) = -sin(x)dx （9）d( tan(x)) = sec2(x)dx （10）d( cot(x)) = -csc2(x)dx （11）d( sec(x)) = sec(x)*tan(x)dx （12）d( csc(x)) = -csc(x)*cot(x)dx

设f(x), g(x)都可导，则： （1）d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x) （2）d(f(x) – g(x)) = df(x) – dg(x) （3）d(f(x) * g(x)) = g(x)*df(x) + f(x)*dg(x) （4）d(f(x) / g(x)) = [g(x)*df(x) – f(x)*dg(x)] / g2(x)

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

5. 泰勒级数

6. 积分

（1）定积分和不定积分

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一组函数，这一组函数的导函数恰为前一函数。

其中：

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，而牛顿和莱布尼茨则使两者产生了紧密的联系（详见牛顿-莱布尼茨公式）。

（2） 常微分方程 与 偏微分方程

含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。

7. 复数

8. 多元函数