如何使用并查集解决朋友圈问题?

如何使用并查集解决朋友圈问题?今天分享到的是一种相对冷门的数据结构 —— 并查集。虽然冷门,但是它背后体现的算法思想却非常精妙,在处理特定问题上能做到出奇制胜。那么,并查集是用来解决什么问题的呢?

本文已收录到  GitHub · AndroidFamily,有 Android 进阶知识体系,欢迎 Star。技术和职场问题,请关注公众号 [彭旭锐] 私信我提问。

前言

大家好,我是小彭。

今天分享到的是一种相对冷门的数据结构 —— 并查集。虽然冷门,但是它背后体现的算法思想却非常精妙,在处理特定问题上能做到出奇制胜。那么,并查集是用来解决什么问题的呢?


学习路线图:

如何使用并查集解决朋友圈问题?


1. 认识并查集

除了并查集之外,不相交集合(Disjoint Sets)、合并-查找集合(Merge-find Set)、联合-查询数据结构(Union-find Data Structure)、联合-查询算法(Union-find algorithm),均表示相同的数据结构或思想。

1.1 并查集用于解决什么问题?

并查集是一种用来高效地判断 “动态连通性 ” 的数据结构: 即给定一个无向图,要求判断某两个元素之间是否存在相连的路径(连通),这就是连通问题,也叫 “朋友圈” 问题。听起来有点懵,你先别着急哈,咱来一点一点地把这个知识体系建立起来。

先举个例子,给定一系列航班信息,问是否存在 “北京” 到 “广州” 的路径,这就是连通性问题。而如果是问 “北京” 到 “广州” 的最短路径,这就是路径问题。并查集是专注于解决连通性问题的数据结构,而不关心元素之间的路径与距离,所以最短路径等问题就超出了并查集的能够处理的范围,不是它考虑的问题。

连通问题与路径问题示意图

如何使用并查集解决朋友圈问题?

另一个关键点是,并查集也非常适合处理动态数据的连通性问题。 因为在完成旧数据的处理后,旧数据的连通关系是记录在并查集中的。即使后续动态增加新的数据,也不需要重新检索整个数据集,只需要将新数据提供的信息补充到并查集中,这带有空间换时间的思想。

动态连通问题

如何使用并查集解决朋友圈问题?

理解了并查集的应用场景后,下面讨论并查集是如何解决连通性的问题。

1.2 并查集的逻辑结构

既然要解决连通性问题,那么在并查集的逻辑结构里,就必须用某种方式体现出两个元素或者一堆元素之间的连接关系。那它是怎么体现的呢 —— 代表元法。

并查集使用 “代表元法” 来表示元素之间的连接关系:将相互连通的元素组成一个子集,并从中选取一个元素作为代表元。而判断两个元素之间是否连通,就是判断它们的代表元是否相同,代表元相同则说明处于相同子集,代表元不同则说明处于不同的子集。

例如,我们将航班信息构建为并查集的数据结构后,就有 “重庆” 和 “北京” 两个子集。此时,问是否存在 “北京” 到 “广州” 的路径,就是看 “北京” 和 “广州” 的代表元是否相同。可见它们的代表元是相同的,因此它们是连通的。

并查集的逻辑结构和物理结构

如何使用并查集解决朋友圈问题?

理解了并查集的逻辑结构后,下面讨论如何用代码实现并查集。

1.3 并查集的物理结构

并查集的物理结构可以是数组,亦可以是链表,只要能够体现节点之间连接关系即可。

  • 链表实现: 为每个元素创建一个链表节点,每个节点持有指向父节点的指针,通过指针的的指向关系来构建集合的连接关系,而根节点(代表元)的父节点指针指向节点本身;
  • 数组实现: 创建与元素个数相同大小的数组,每个数组下标与每个元素一一对应,数组的值表示父节点的下标位置,而根节点(代表元)所处位置的值就是数组下标,表示指向本身。

数组实现相对于链表实现更加常见,另外,在数组的基础上还衍生出散列表的实现,关键看元素个数是否固定。例如:

提示: 我们这里将父节点指向节点本身定义为根节点,也有题解将父节点指向 null 或者 -1 的节点定义为根节点。两种方法都可以,只要能够区分出普通节点和根节点。但是指向节点本身的写法更简洁,不需要担心 Union(x, x) 出现死循环。

以下为基于数组和基于散列表的代码模板:

基于数组的并查集

// 数组实现适合元素个数固定的场景
class UnionFind(n: Int) {
    // 创建一个长度为 n 的数组,每个位置上的值初始化数组下标,表示初始化时有 n 个子集
    private val parent = IntArray(n) { it }
    ...
}

基于散列表的并查集

// 散列表实现适合元素个数不固定的场景
class UnionFind() {
    // 创建一个空散列表,
    private val parent = HashMap<Int, Int>()

    // 查询操作
    fun find(x: Int): Int {
        // 1. parent[x] 为 null 表示首次查询,先加入散列表中并指向自身
        if (null == parent[x]) {
            parent[x] = x
            return x
        }
        // 下文说明查询操作细节...
    }
}

2. 并查集的基本概念

2.1 合并操作与查询操作

“并查集,并查集”,顾名思义并查集就是由 “并” 和 “查” 这两个最基本的操作组成的:

  • Find 查询操作: 沿着只用链条找到根节点(代表元)。如果两个元素的根节点相同,则说明两个元素是否属于同一个子集,否则属于不同自己;
  • Union 合并操作: 将两个元素的根节点合并,也表示将两个子集合并为一个子集。

例如,以下是一个基于数组的并查集实现,其中使用 Find(x) 查询元素的根节点使用 Union(x, y) 合并两个元素的根节点:

基于数组的并查集

class UnionFind(n: Int) {

    // 创建一个长度为 n 的数组,每个位置上的值初始化数组下标,表示初始化时有 n 个子集
    val parent = IntArray(n) { it }

    // 查询操作(遍历写法)
    fun find(x: Int): Int {
        var key = x
        while (key != parent[key]) {
            key = parent[key]
        }
        return key
    }

    // 合并操作
    fun union(x: Int, y: Int) {
        // 1. 分别找出两个元素的根节点
        val rootX = find(x)
        val rootY = find(y)
        // 2. 任意选择其中一个根节点成为另一个根节点的子树
        parent[rootY] = rootX
    }

    // 判断连通性
    fun isConnected(x: Int, y: Int): Boolean {
        // 判断根节点是否相同
        return find(x) == find(y)
    }

    // 查询操作(递归写法)
    fun find(x: Int): Int {
        var key = x
        if (key != parent[key]) {
            return find(parent[key])
        }
        return key
    }
}

合并与查询示意图

如何使用并查集解决朋友圈问题?

2.2 连通分量

并查集的连通分量,表示的是整个并查集中独立的子集个数,也就是森林中树的个数。要计算并查集的连通分量,其实就是在合并操作中维护连通分量的计数,在合并子集后将计数减一。

class UnionFind(n: Int) {

    private val parent = IntArray(n) { it }

    // 连通分量计数,初始值为元素个数 n
    var count = n

    // 合并操作
    fun union(x: Int, y: Int) {
        val rootX = find(x)
        val rootY = find(y)
        if(rootX == rootY){
            // 未发生合并,则不需要减一
            return
        }
        // 合并后,连通分量减一
        parent[rootY] = rootX
        count --
    }
    ...
}

连通分量示意图

如何使用并查集解决朋友圈问题?


3. 典型例题 · 等式方程的可满足性

理解以上概念后,就已经具备解决连通问题的必要知识了。我们看一道 LeetCode 上的典型例题: LeetCode · 990.

LeetCode 例题

如何使用并查集解决朋友圈问题?

我们可以把每个变量看作看作一个节点,而等式表示两个节点相连,不等式则表示两个节点不相连。那么,我们可以分 2 步:

  • 1、先遍历所有等式,将等式中的两个变量合并到同一个子集中,最终构造一个并查集;
  • 2、再遍历所有不等式,判断不等式中的两个变量是否处于同一个子集。是则说明有冲突,即等式方程不成立。

如何使用并查集解决朋友圈问题?

—— 图片引用自 LeetCode 官方题解

题解示例如下:

题解

// 未优化版本
class Solution {
    fun equationsPossible(equations: Array<String>): Boolean {
        // 26 个小写字母的并查集
        val unionFind = UnionFind(26)

        // 合并所有等式
        for (equation in equations.filter { it[1] == '=' }) {
            unionFind.union(equation.first(), equation.second())
        }
        // 检查不等式是否与连通性冲突
        for (equation in equations.filter { it[1] == '!' }) {
            if (unionFind.isConnected(equation.first(), equation.second())) {
                return false
            }
        }
        return true
    }

    private fun String.first(): Int {
        return this[0].toInt() - 97
    }

    private fun String.second(): Int {
        return this[3].toInt() - 97
    }

    private class UnionFind() {
        // 代码略
    }
}

4. 并查集的优化

前面说到并查集逻辑上是一种基于森林的数据结构。既然与树有关,我们自然能想到它的复杂度就与树的高度有关。在极端条件下(按照特殊的合并顺序),有可能出现树的高度恰好等于元素个数 n 的情况,此时,单次 Find 查询操作的时间复杂度就退化到
O ( n ) O(n)

那有没有优化的办法呢?

4.1 父节点重要吗?

在介绍具体的优化方法前,我先提出来一个问题:在已经选定集合的代表元后,一个元素的父节点是谁还重要吗?答案是不重要。

因为无论父节点是谁,最终都是去找根节点的。至于中间是经过哪些节点到达根节点的,这个并不重要。举个例子,以下 3 个并查集是完全等价的,但明显第 3 个并查集中树的高度更低,查询的时间复杂度更好。

父节点并不重要

如何使用并查集解决朋友圈问题?

理解了这个点之后,再理解并查集的优化策略就容易了。在并查集里,有 2 种防止链表化的优化策略 —— 路径压缩 & 按秩合并。

4.2 路径压缩(Path Compression)

路径压缩指在查询的过程中,逐渐调整父节点的指向,使其指向更高层的节点,使得很多深层的阶段逐渐放到更靠近根节点的位置。 根据调整的激进程度又分为 2 种:

  • 隔代压缩: 调整父节点的指向,使其指向父节点的父节点;
  • 完全压缩: 调整父节点的指向,使其直接指向根节点。

路径压缩示意图

如何使用并查集解决朋友圈问题?

路径压缩示例程序

// 遍历写法
fun find(x: Int): Int {
    var key = x
    while (key != parent[key]) {
        parent[key] = parent[parent[key]] 
        key = parent[key]
    }
    return key
}

// 递归写法
fun find(x: Int): Int {
    var key = x
    if (key != parent[key]) {
        parent[key] = find(parent[key])
        return parent[key]
    }
    return key
}

4.3 按秩合并(Union by Rank)

第 2.1 节 提到合并操作时,我们采取的合并操作是相对随意的。我们在合并时会任意选择其中一个根节点成为另一个根节点的子树,这就有可能让一棵较大子树成为较小子树的子树,使得树的高度增加。

而按秩合并就是要打破这种随意性,在合并的过程中让较小的子树成为较大子树的子树,避免合并以后树的高度增加。 为了表示树的高度,需要维护使用 rank 数组,记录根节点对应的高度。

按秩合并示意图

如何使用并查集解决朋友圈问题?

按秩合并示例程序

private class UnionFind(n: Int) {
    // 父节点
    private val parent = IntArray(n) { it }

    // 节点的高度
    private val rank = IntArray(n) { 1 }

    // 连通分量
    var count = n
        private set

    // 查询(路径压缩)
    fun find(x: Int): Int {
        var key = x
        while (key != parent[key]) {
            parent[key] = parent[parent[key]]
            key = parent[key]
        }
        return key
    }

    // 合并(按秩合并)
    fun union(key1: Int, key2: Int) {
        val root1 = find(key1)
        val root2 = find(key2)

        if (root1 == root2) {
            return
        }
        if (rank[root1] > rank[root2]) {
            // root1 的高度更大,让 root2 成为子树,树的高度不变
            parent[root2] = root1
        } else if (rank[root2] > rank[root1]) {
            // root2 的高度更大,让 root1 成为子树,树的高度不变
            parent[root1] = root2
        } else {
            // 高度相同,谁当子树都一样
            parent[root1] = root2
            // root2 的高度加一
            rank[root2]++
            // 或
            // parent[root2] = root1
            // rank[root1] ++
        }
        count--
    }
}

4.4 优化后的时间复杂度分析

在同时使用路径压缩和按秩合并两种优化策略时,单次合并操作或查询操作的时间复杂度几乎是常量,整体的时间复杂度几乎是线性的。

以对 N 个元素进行 N – 1 次合并和 M 次查询的操作序列为例,单次操作的时间复杂度是
O ( a ( N ) ) O(a(N))
,而整体的时间复杂度是
O ( M a ( N ) ) O(M·a(N))
。其中
a ( x ) a(x)
是逆阿克曼函数,是一个增长非常非常慢的函数,只有使用那些非常大的 “天文数字” 作为变量
x x
,否则
a ( x ) a(x)
的取值都不会超过 4,基本上可以当作常数。

然而,逆阿克曼函数毕竟不是常数,因此我们不能说并查集的时间复杂度是线性的,但也几乎是线性的。关于并查集时间复杂度的论证过程,具体可以看参考资料中的两本算法书籍,我是看不懂的。


5. 典型例题 · 岛屿数量(二维)

前面我们讲的是一维的连通性问题,那么在二维世界里的连通性问题,并查集还依旧好用吗?我们看 LeetCode 上的另一道典型例题: LeetCode · 200.

LeetCode 例题

如何使用并查集解决朋友圈问题?

这个问题直接上 DFS 广度搜索自然是可以的:遍历二维数组,每找到 1 后使用 DFS 遍历将所有相连的 1 消除为 0,直到整块相连的岛屿都消除掉,记录岛屿数 +1。最后,输出岛屿数。

用并查集的来解的话,关键技巧就是建立长度为 M * N 的并查集:遍历二维数组,每找到 1 后,将它与右边和下边的 1 合并起来,最终输出并查集中连通分量的个数,就是岛屿树。

并查集解法

class Solution {
    fun numIslands(grid: Array<CharArray>): Int {

        // 位置
        fun position(row: Int, column: Int) = row * grid[0].size + column

        // 并查集
        val unionFind = UnionFind(grid)

        // 偏移量数组(向右和向下)
        val directions = arrayOf(intArrayOf(0, 1), intArrayOf(1, 0))

        // 边界检查
        fun checkBound(row: Int, column: Int): Boolean {
            return (row in grid.indices) and (column in grid[0].indices)
        }

        for (row in grid.indices) {
            for (column in grid[0].indices) {
                if ('1' == grid[row][column]) {
                    // 消费(避免后续的遍历中重复搜索)
                    grid[row][column] = '0'
                    for (direction in directions) {
                        val newRow = row + direction[0]
                        val newColumn = column + direction[1]
                        if (checkBound(newRow, newColumn) && '1' == grid[newRow][newColumn]) {
                            unionFind.union(position(newRow, newColumn), position(row, column))
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return unionFind.count
    }

    private class UnionFind(grid: Array<CharArray>) {

        // 父节点
        private val parent = IntArray(grid.size * grid[0].size) { it }

        // 节点高度
        private val rank = IntArray(grid.size * grid[0].size) { 1 }

        // 连通分量(取格子 1 的总数)
        var count = grid.let {
            var countOf1 = 0
            for (row in grid.indices) {
                for (column in grid[0].indices) {
                    if ('1' == grid[row][column]) countOf1++
                }
            }
            countOf1
        }
            private set

        // 合并(按秩合并)
        fun union(key1: Int, key2: Int) {
            val root1 = find(key1)
            val root2 = find(key2)
            if (root1 == root2) {
                // 未发生合并,则不需要减一
                return
            }
            if (rank[root1] > rank[root2]) {
                parent[root2] = root1
            } else if (rank[root2] > rank[root1]) {
                parent[root1] = root2
            } else {
                parent[root1] = root2
                rank[root2]++
            }
            // 合并后,连通分量减一
            count--
        }

        // 查询(使用路径压缩)
        fun find(x: Int): Int {
            var key = x
            while (key != parent[key]) {
                parent[key] = parent[parent[key]]
                key = parent[key]
            }
            return key
        }
    }
}

6. 总结

到这里,并查集的内容就讲完了。文章开头也提到了,并查集并不算面试中的高频题目,但是它的设计思想确实非常妙。不知道你有没有这种经历,在看到一种非常美妙的解题 / 设计思想后,会不自觉地拍案叫绝,直呼内行,并查集就是这种。

更多同类型题目:

并查集 题解
990. 等式方程的可满足性 【题解】
200. 岛屿数量 【题解】
547. 省份数量 【题解】
684. 冗余连接 【题解】
685. 冗余连接 II
1319. 连通网络的操作次数 【题解】
399. 除法求值
952. 按公因数计算最大组件大小
130. 被围绕的区域
128. 最长连续序列
721. 账户合并
765. 情侣牵手

参考资料

  • 数据结构与算法分析 · Java 语言描述(第 8 章 · 不相互交集类)—— [美] Mark Allen Weiss 著
  • 算法导论(第 21 章 · 用于不相交集合的数据结构)—— [美] Thomas H. Cormen 等 著
  • 专题 · 并查集 —— LeetCode 出品
  • 题目 · 等式方程的可满足性 —— LeetCode 出品

本文为稀土掘金技术社区首发签约文章,14天内禁止转载,14天后未获授权禁止转载,侵权必究!

如何使用并查集解决朋友圈问题?

今天的文章如何使用并查集解决朋友圈问题?分享到此就结束了,感谢您的阅读。

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。
如需转载请保留出处:https://bianchenghao.cn/15414.html

(0)
编程小号编程小号

相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注