前言
本文将讲解位运算中一种比较实用的算法:位图,不同于此系列前两篇文章(第一篇、第二篇)主要讲位运算的基础知识和技巧,内容比较散且杂,本文讲只讲位图这一个知识点,此外,还需要注意的是,这个位图,并不是指点阵图像,不是位图和矢量图中那个位图,而是指一种数据结构,如果你知道Map
数据结构的话,可以认为这里的位图就类似与<K, V>
映射的结构,只不过这里的K
是数字的每一个位,V
则只有 0 和 1 这两种值,下面就来通过几个例子让你对位图有一个整体的认识。
找到一千万个数中缺失的数
如题,假如这这一千万个数的范围也是在[1, 1 000 000),那么我们如何快速找到缺失的数呢?最简单粗暴的算法就是直接使用一个HashSet
存储这些数,然后再从[1, 1 000 000)进行挨个遍历即可,代码如下:
// 随机生成一千万个[1, 1000000)之间的数
IntStream stream = new Random().ints(10000000, 1, 1000000);
// 保存到 HashSet 中
Set<Integer> set = stream.boxed().collect(Collectors.toSet());
// 遍历输出缺失的数
IntStream.range(1, 1000000)
.filter(val -> !set.contains(val))
.forEach(System.out::println);
不过由于我们保存的只是普通的整数类型,所以我们其实可以直接使用一个长度为10000001
的布尔数组,可以加快运算的速度,代码稍作修改即可:
IntStream stream = new Random().ints(10000000, 1, 1000000);
boolean[] map = new boolean[10000000];
stream.forEach(val -> map[val] = true);
IntStream.range(1, 1000000)
.filter(val -> !map[val])
.forEach(System.out::println);
但是以上两种方法都浪费一些存储空间,即使是布尔数组也使用了 1 byte
(8位,参照JVM
规范的定义,并不一定是 1 个字节)保存一个数的标志位,但是通过使用位图,我们只需要 1 Bit
即可保存一个数是否存在的标志,这样就只需要 1 / 8 的内存即可存储这些数的标志(如果布尔数组每个布尔数为1 byte
的话),这里以long
为例,一个long
为8字节,64位,因此我们就可以用一个long
的64位来标记连续的64个数中每一个数的存储标志,最终我们使用 10000000 / 64 + 1
个long
类型的数即可存储所有的数据存在标志,在展示最终的代码之前,先探讨一下一些小细节:
由于初始时数的每一位都为0,因此我们通过将一个数的某位置为1来代表某数存在,使用n |= (1 << pos)
即可,但是由于一个long
只有64位,因此我们在置位的时候,还需要先计算该数对应long
数组中哪一个long
数据的哪一位,下面就来通过代码来展示这一思路:
IntStream stream = new Random().ints(10000000, 1, 1000000);
// 声明一个可以容纳一千万个数的标志位的 long 数组
long[] map = new long[10000000 / 64 + 1];
stream.forEach(val -> {
// 计算数对应数组的下标及对应的位
int index = val >> 6;
int pos = val & 63;
map[index] |= (1L << pos);
});
IntStream.range(1, 1000000).filter(val -> {
// 若标志位为0则表明该数不存在
int index = val >> 6;
int pos = val & 63;
return (map[index] & (1L << pos)) == 0;
}).forEach(System.out::println);
尽管使用位图的时候,编码较上述两种方法更复杂一些,但是在空间与时间上都得到了很大的提升(由于我们可以通过位运算轻松的得到index
和pos
,所以这里才比较快,如果使用/
和%
,编译器再没有优化的话,时间可能会慢一些,不过空间占用的减少,这点还是可以确信的)。
注意
其实,我们还可以简化以上的代码,并不需要通过val & 63
计算pos
,因为当pos
大于数位的长度时,在Java
中自动会只取pos
的低64 位(如果是int
,则是32),不过在C
语言中则可能不行,关于移位的细节可以查看《深入理解计算机系统》中文版的第 64 页。因此我们的代码中可以省略对pos
的计算,只需要计算index
即可,简化后的代码如下:
IntStream stream = new Random().ints(10000000, 1, 1000000);
long[] map = new long[10000000 / 64 + 1];
stream.forEach(val -> map[val >> 6] |= (1L << val));
IntStream.range(1, 1000000)
.filter(val -> map[val >> 6] & (1L << val) == 0)
.forEach(System.out::println);
子集
该题源自LeetCode
,具体题目如下: 给定一组不含重复元素的整数数组nums
,返回该数组所有可能的子集(幂集)。 说明:解集不能包含重复的子集。
示例: 输入: nums = [1,2,3]
输出: [[3],[1],[2],[1,2,3],[1,3],[2,3],[1,2],[]]
来源:力扣(LeetCode) 链接:leetcode-cn.com/problems/su… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权,非商业转载请注明出处。
这里直接给出思路:
仔细研究子集的特点,可以发现一个不含重复元素的整数数组nums
的所有子集,即对应着[0, 2 ^ len - 1
)(这里的len
代表数组的长度,^
代表乘方运算)的所有状态,我们很容易得到[0, 8)之间每个数的二进制表达形式:
数 | 二进制 |
---|---|
0 | 000 |
1 | 001 |
2 | 010 |
3 | 011 |
4 | 100 |
5 | 101 |
6 | 110 |
7 | 111 |
假设我们用1代表某数存在,否则不存在,那么000
即对应着[]
的情况,111
对应着[1, 2, 3]
的情况,因此我们就可以利用位图的思想去解决这道题:
public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
int count = nums.length;
int n = 1 << count;
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
List<Integer> list = new ArrayList<>();
int temp = i;
for (int num : nums) {
if ((temp & 1) == 1) {
list.add(num);
}
temp >>= 1;
}
ans.add(list);
}
return ans;
}
可怜的小猪
这一道题也改编自LeetCode
,这里只讨论最简单的情况: 有 100 只水桶,其中有且只有一桶装的含有毒药,其余装的都是水。它们从外观看起来都一样。如果小猪喝了毒药,一小时后它会就会死去。如果需要你弄清楚哪只水桶含有毒药,你最少需要多少只猪(猪死多少无所谓,需要找到的时间尽可能得快)?
来源:力扣(LeetCode) 链接:leetcode-cn.com/problems/po… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权,非商业转载请注明出处。
这里直接给出答案和思路,我们只要 7 只小猪即可,思路如下: 先将这 100 只水桶从[0, 100)进行编号,然后我们知道 7 位二进制可以表示000 0000 - 111 1111
这 128 个数,我们只需要让这 7 只小猪分别喝[0, 100)中在其位上为 1 的水桶的水即可,举例来说,假如有第 63 号水桶,对应二进制为011 1111
,那么我们就让 0 – 6号小猪去喝这桶水,如果有第 5 号桶,对应二进制为000 0101
,那么就让 0 号和 2 号小猪去喝,以此类推,最终我们根据死的小猪的编号即可确定是哪个桶有毒药,举例来说就是如果 1、3、5、7 这四个小猪死了,那么就是101 0101
(85)号桶含有毒药。
BitSet
简介
其实在很多语言中都有位图算法得具体实现形式,例如在Java
中,我们就可以通过使用BitSet
很方便的去使用位图的思想,其中的set
方法就对应着将指定位置为存在,get
方法则返回指定位是否存在的布尔值结果,构造函数中的参数即对应着我们需要需要使用多少个位,并通过计算得到需要的long
数组的长度,因此我们使用如下代码,就可以很方便的去使用我们之前位图的思想:
IntStream stream = new Random().ints(10000000, 1, 1000000);
BitSet set = new BitSet(100000000);
stream.forEach(set::set);
IntStream.range(1, 1000000)
.filter(val -> !set.get(val))
.forEach(System.out::println);
总结
本文主要讲解了位图的基本概念及具体使用方法,随后又讲解了Java
中的一种位图实现:BitSet
,时隔两个多月,终于写了这篇总结,其实一直也都想写了,只是觉得自己的理解不够深,可能无法给大家带来帮助,不过为了水一篇博客,就写了位运算系列的第三篇,以后有新的理解了,再修改吧,当然此系列也会持续更新的,就是不知道下次是什么时候了。
今天的文章位运算 | (三)位运算之位图使用及讲解分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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