【高等数学基础进阶】定积分与反常积分-反常积分

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积分有两个要求，一个是积分上下限有限，被积函数有界，打破其中任意一个，即为反常积分

无穷区间上的反常积分

\begin{gathered} \int^{a}_{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to+\infty}\int^{t}_{a}f(x)dx\\ \int^{b}_{-\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to-\infty}\int^{b}_{t}f(x)dx\\ 若\int^{+\infty}_{0}f(x)dx和\int^{0}_{-\infty}f(x)都收敛,则称\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx收敛 \end{gathered}

常用结论：

\int^{+\infty}_{a} \frac{1}{x^{P}}dx=\left\{\begin{aligned}&P>1&收敛\\ &P\leq1&发散\end{aligned}\right.\quad(a>0)

无界函数的反常积分

设 $a$ 为 $f(x)$ 的无界点，

\int^{b}_{a}f(x)dx=\lim\limits_{t\to a^{+}}\int^{b}_{c}f(x)dx

常用结论：

\int^{b}_{a} \frac{1}{(x-a)^{P}}dx=\left\{\begin{aligned}&P<1&收敛\\ &P\geq1&发散\end{aligned}\right.=\int^{b}_{a} \frac{1}{(b-x)^{P}}dx

常考题型与典型例题

反常积分的敛散性

例1：说明反常积分 $\int^{+\infty}_{2}xde^{-x}$ 收敛

\begin{aligned} \int^{+\infty}_{2}xde^{-x}&=-\int^{+\infty}_{2}xde^{-x}\\ &=-xe^{-x}\Big|^{+\infty}_{2}+\int^{+\infty}_{2}e^{-x}dx\\ &=-(x+1)e^{-x}\Big|^{+\infty}_{2} \end{aligned}

$e^{x}$ 在分母上变成 $e^{-x}$

例2：设函数 $f(x)=\left\{\begin{aligned}& \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}&1<x<e\\& \frac{1}{x\ln^{\alpha+1}x}&x\geq e\end{aligned}\right.$ ，若反常积分 $\int^{+\infty}_{1}f(x)dx$ 收敛，求 $\alpha$ 的范围

定义中若 $\int^{+\infty}_{0}f(x)dx$ 和 $\int^{0}_{-\infty}f(x)$ 都收敛，则称 $\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx$ 收敛，是指积分上下限区间范围内任意分都收敛，则整体收敛

\begin{aligned} \int^{+\infty}_{1}f(x)dx&=\int^{e}_{1} \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}dx+\int^{+\infty}_{e} \frac{dx}{x\ln^{\alpha+1}x}\\ &=\underbrace{\int^{e}_{1} \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}dx}_{\alpha-1<\alpha\Rightarrow \alpha<2 }+\underbrace{\int^{+\infty}_{e} \frac{d\ln x}{\ln^{\alpha+1}x}}_{\alpha+1>1 \Rightarrow \alpha>0} \end{aligned}

两个常用公式中的变量可以整体代换，如本题 $\ln x$ 代换 $x$ ，可使用 $\int^{+\infty}_{a} \frac{1}{x^{P}}dx$ 的结论

因此 $0<\alpha<2$

例3：反常积分 $\int^{0}_{-\infty} \frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}dx$ 的敛散性为

\begin{aligned} 原式&=-\int^{0}_{-\infty}e^{\frac{1}{x}}d \frac{1}{x}\\ &=-e^{\frac{1}{x}}\Big|^{0}_{-\infty}\\ &=- \lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}+1=1 \end{aligned}

此处有 $\lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}$ ，原本是 $\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}$ ，但由于一面已经确定了是 $-\infty$ （ $0$ 以左都一样），则在该区间内，趋向于 $0$ ，显然无法出现 $x\to 0^{+}$ ，因此默认为 $0^{-}$

例4：反常积分 $\int^{+\infty}_{0} \frac{1}{x^{a}(1+x)^{b}}dx$ 收敛

$\int^{+\infty}_{0} \frac{1}{x^{P}}dx$ 积分两侧都是反常积分，下限为无界函数的反常积分，上限为无穷区间的反常积分

\begin{aligned} 原式&=\int^{1}_{0} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}+\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}\\ &这里观察到两侧都是反常积分\\ &因此随便找个数把两类反常积分区间分开 \end{aligned}

由于 $\lim\limits_{x\to0^{+}}(1+x)^{b}=1$ ，易知 $\int^{1}_{0} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}$ 在 $0$ 处与 $\int^{1}_{0} \frac{dx}{x^{a}}$ 同敛散，因此 $a<1$ 。对于另一部分有

\begin{aligned} \int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}&=\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a+b}(1+ \frac{1}{x})^{b}} \end{aligned}

用上面的推理方式,可知 $\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a+b}(1+ \frac{1}{x})^{b}}$ 与 $\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{x^{a+b}}$ 当 $x\to +\infty$ 同敛散，因此 $a+b>1$

反常积分的计算

例5： $\int^{+\infty}_{2} \frac{dx}{(x+7)\sqrt{x-2}}=()$

可以令 $\sqrt{x-2}=t$ ，可以算出来，这里用另一种方法

\begin{aligned} 原式&=\int^{+\infty}_{2} \frac{2d \sqrt{x-2}}{9+(\sqrt{x-2})^{2}}\\ &=\frac{2}{3} \arctan \sqrt{x-2}\Big|^{+\infty}_{2}\\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned}

例6：计算 $I=\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{e^{x}+e^{2-x}}$

如果积分中出现 $e^{x}$ 且要凑进 $dx$ ，则可以考虑尽量把所有 $e^{-x}$ 化成 $e^{x}$ 方便观察

\begin{aligned} I&=\int^{+\infty}_{1} \frac{e^{x}dx}{e^{2x}+e^{2}}\\ &=\int^{+\infty}_{1} \frac{de^{x}}{e^{2}+e^{2x}}\\ &=\frac{1}{e}\arctan \frac{e^{x}}{e}\Big|^{+\infty}_{1}\\ &=\frac{\pi}{4e} \end{aligned}

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