第三节课程,介绍的是迭代法。
前两节笔记的文章:
03 迭代法
什么是迭代法
迭代法,简单来说,其实就是不断地用旧的变量值,递推计算新的变量值。
这里采用一个故事来介绍什么是迭代法,这个故事是讲述一个国王要重赏一个做出巨大贡献的臣子,让臣子提出他想得到的赏赐,这个聪明的臣子说出了他想得到的赏赐–在棋盘上放满麦子,但要求是每个格子的麦子数量都是前一个格子的两倍。国王本以为这个赏赐可以轻而易举的满足,但真正开始放麦子后,发现即便是拿出全国的粮食也无法满足的臣子的这个赏赐。
这里我们可以用f(n)
表示当前各自的麦子数量,而前一个格子的麦子数量就是f(n-1)
,那么臣子的要求就可以这么表示:
f(n) = f(n-1) * 2
f(1) = 1
这也就是迭代法了,而如果用编程来实现,其实就是实现一个循环运算的过程。
用 Python 实现这个计算麦子的代码如下所示:
def get_number_of_wheat(grid):
''' \计算放到给定格子数量需要的麦子数量 :param grid: 格子数 :return: '''
# f(1) = 1
wheat_numbers = 1
sums = wheat_numbers
for i in range(2, grid+1):
wheat_numbers *= 2
sums += wheat_numbers
print('when grid = %d, wheats numbers = %d' % (grid, sums))
return sums
简单的测试例子:
if __name__ == '__main__':
print('compute numbers of wheat!')
numbers_grid = 63
get_number_of_wheat(numbers_grid)
print('finish')
给定格子数量是 63 个,输出结果如下:
compute numbers of wheat!
when grid = 63, wheats numbers = 9223372036854775807
finish
所以这个天文数字是 19 位数–9223372036854775807,真的是非常的多!假设一袋 50 斤的麦子估计有 130 万粒麦子,那么这个计算结果是相当于 70949 亿袋 50 斤的麦子!
迭代法的应用
看完上述例子,相信应该对迭代法的基本概念比较了解了,而迭代法的基本步骤也很简单,分为三个步骤:
- 确定用于迭代的变量。上述例子中,这个迭代变量就是
f(n)
和f(n-1)
- 建立迭代变量之间的递推关系。上述例子中,这个递归关系是
f(n)=f(n-1)*2
- 控制迭代的过程。这里需要确定迭代的初始条件和终止条件,上述例子,初始条件就是
f(1)=1
,而终止条件就是达到给定的格子数了。
那么迭代法有什么应用呢?
其实,它在数学和计算机领域都有很广泛的应用,如:
- 求数值的精确或者近似解。典型的方法包括二分法(Bisection method)和牛顿迭代法(Newton’s method);
- 在一定范围内查找目标值。典型方法包括二分查找,其实也是二分法在搜索方面的应用;
- 机器学习算法中的迭代。比如 Kmeans 聚类算法(不断迭代来对数据进行聚类)、马尔科夫链(Markov chain)、梯度下降法(Gradient descent)等。迭代法在机器学习中有广泛的应用,其实是因为机器学习的过程,就是根据已知数据和一定的假设,求一个局部最优解。迭代法可以帮助学习算法逐步搜索,直到发现这种解。
接下来会重点介绍求数值的解和查找匹配记录,这两个应用其实都是采用二分法来实现。
求方程的精确或者近似解
迭代法除了用于计算庞大的数字,还可以帮助我们进行无穷次地逼近,求得方程的精确或者近似解。
举个例子,我们要计算一个给定的正整数n(n>1)
的平方根,并且不能采用编程语言自带的函数,应该如何计算呢?
首先我们可以明确的是,对于给定的正整数n
,它的平方根肯定是小于它,但大于1,也就是这个平方根的取值范围是 1 到 n
,在这个范围内求一个数值的平方等于n
。
这里就可以通过采用刚刚说的二分法。每次查看区间内的中间值,检查它是否符合标准。
比如我们要求 10 的平方根,寻找的区间就是[1,10]
,第一个中间值就是(1+10)/2=11/2=5.5
,而 5.5 的平方等于 30.25,明显比 10 大,所以寻找区间变成 5.5 的左侧,也就是[1, 5.5]
,中间值就是 3.25,但 3.25 的平方是 10.5625,依然大于 10,寻找区间变为[1, 3.25]
,中间值变为 2.125, 2.125 的平方是 4.515625,小于 10,所以区间就是[2.125, 3.25]
,这样继续寻找和计算中间值的平方,直到发现某个数的平方正好是 10。
具体步骤如下图:
这里用代码实现,如下图所示:
def get_square_root(n, threshold, max_try):
''' 计算大于 1 的正整数的平方根 :param n: 给定正整数 :param threshold: 误差的阈值 :param max_try: 最大尝试次数 :return: '''
if n <= 1:
return -1.0
# interval boundary 区间的左右边界
left = 1.0
right = float(n)
for idx in range(max_try):
# 防止溢出
middle = left + (right - left) / 2
square = middle * middle
# 误差
delta = abs(square / n - 1)
if delta <= threshold:
return middle
else:
if square > n:
right = middle
else:
left = middle
return -2.0
简单的测试例子:
square_root = get_square_root(10, 0.000001, 10000)
if square_root == -1.0:
print('please input a number > 1')
elif square_root == -2.0:
print('cannot find the square root')
else:
print('square root==', square_root)
输出结果是:
square root== 3.1622767448425293
这里代码中,设置了两个控制迭代结束的参数:
threshold
:误差的阈值,用于控制解的精度。理论上二分法可以通过无限次迭代求到精确解,但实际应用还需要考虑时间和计算资源,所以一般我们只需要一个近似解,而不需要完全精确的数据;max_try
:控制迭代的次数。设置这个参数也是为了避免使用while True
循环可能导致的死循环,当然理论上设置了threshold
是可以避免死循环的,但这是一个良好的编程习惯,主动避免产生的可能性。
查找匹配记录
二分法通过迭代式逼近,不仅可以求得方程的近似解,还可以帮助查找匹配的记录。
这里老师给的例子是在自然语言处理中,处理同义词或者近义词的扩展问题。这时,你是会有一个词典,用于记录每个单词的同义词或者近义词。对于一个待查找单词,我们需要在字典找到这个单词,以及对应的所有同义词和近义词,然后进行拓展,例如对于单词–西红柿
,它的同义词包括了番茄
和tomato
。
词典如下表格所示:
词条 | 同义词1 | 同义词2 | 同义词3 |
---|---|---|---|
西红柿 | 番茄 | tomato | … |
… | … | … | … |
当处理文章的时候,遇到“西红柿”这个单词,就在字典里查找,返回“番茄”和“tomato”等同义词或者近义词,并添加到文章作为同义词/近义词的拓展。
这里要解决的问题就是如何在字典查询匹配单词的问题。一种做法就是哈希表。而如果不用哈希表的方法,还可以采用二分查找法。二分查找法进行字典查询的思路如下:
- 对整个字典先进行排序(假设是从小到大)。二分法的一个关键前提条件就是所查找区间必须是有序的,这样每次折半的时候,可以知道是往左还是右继续查找。
- 使用二分法逐步定位到被查找的单词。同样是每次都选择查找区间的中间值,判断是否和待查找单词一致,如果一致就返回;如果不一致,就进行判断大小,如果比待查找单词小,就需要往中间值右边区间查找;否则就在左边区间查找。
- 重复第二步操作,迭代式查找,直到找到单词,或者没有找到,就返回不存在。
相比于利用二分法查找方程解,二分查找必须要求数据是有序的!
用代码实现如下:
def search_word(dictionary, word):
''' 查找匹配单词 :param dictionary: 排序后的字典 :param word:待查找单词 :return: '''
if dictionary is None:
return False
if len(dictionary) < 1:
return False
left = 0
right = len(dictionary) - 1
while left <= right:
middle = int(left + (right - left) / 2)
if dictionary[middle] == word:
return True
else:
if dictionary[middle] > word:
right = middle - 1
else:
left = middle + 1
return False
简单的测试代码:
print('find word in dictionary')
dict_list = ['i', 'am', 'coder']
dict_list = sorted(dict_list)
print('sorted dict:', dict_list)
word_to_find = 'am'
found = search_word(dict_list, word_to_find)
if found:
print('word "%s" found in dictionary--%s!' % (word_to_find, dict_list))
else:
print('cannot find the word "%s"' % word_to_find)
输出结果:
find word in dictionary
sorted dict: ['am', 'coder', 'i']
word "am" found in dictionary--['am', 'coder', 'i']!
finish
迭代法的介绍就到这里了!上述源代码地址:
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今天的文章程序员的数学笔记3–迭代法分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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