【C++】Tarjan算法

【C++】Tarjan算法「这是我参与13月更文挑战的第14天,活动详情查看:2021最后一次更文挑战」。 相关介绍 强连通分量 在有向图中,如果某一个子图的任意两点都是连通的则该子图是一个强连通分量。 算法简介 $Tarja

「这是我参与13月更文挑战的第14天,活动详情查看:2021最后一次更文挑战」。

相关介绍

强连通分量

在有向图中,如果某一个子图的任意两点都是连通的则该子图是一个强连通分量。

算法简介


T a r j a n Tarjan
算法有好几种,都是以
T a r j a n Tarjan
命名的,这里讲的
T a r j a n Tarjan
指求强连通分量的
T a r j a n Tarjan
算法,他以深度优先搜索的方式对图进行染色,进而求得强连通分量。

算法思想

在一个顶点数为
n n
的图中,
T a r j a n Tarjan
算法需要维护一个顶点栈和几个数组。


  1. s t a c k   S stack\ S
    表示顶点栈。

  2. d f n [   ] dfn[\ ]
    数组,
    d f n [ i ] dfn[i]
    表示第
    i i
    个顶点的深度搜索次序。

  3. l o w [   ] low[\ ]
    数组,
    l o w [ i ] low[i]
    表示顶点
    i i
    回溯时所能回溯到的最小
    d f n dfn

  4. v i s i t [   ] visit[\ ]
    数组,
    v i s i t [ i ] visit[i]
    表示顶点
    i i
    是否在栈中。

  5. c o l o r [   ] color[\ ]
    数组,
    c o l o r [ i ] color[i]
    表示顶点
    i i
    在哪一个强连通分量,相同的强连通分量染色相同。

算法流程

void Tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++cnt;//初始化dfn=low
	S.push(u);//顶点u入栈
	visit[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=last[i]){//遍历u的所有边
		int v=to[i];//v是以u为起点的边的终点顶点
		if(!dfn[v]){//如果还没有访问过v
			Tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}else if(visit[i]){
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		color[u]=++sum;//颜色+1,用相同的颜色对同一个连通分量染色
		visit[u]=0;//标记为未访问
		while(S.top()!=u){
			color[S.top()]=color[u];
			visit[S.top()]=0;//标记为未访问
			S.pop();
		}
	}
}

扩展


T a r j a n Tarjan
在除了有向图中可以求强连通分量,在无向图中还可以求割点和割边(桥)。

割点:无向图中去掉某一个点及其连接的边会破坏其连通性的点。

割边:去掉无向图中某一条边会破坏连通性的边。

割边连接的点必为割点,但是割点连接的边不一定是割边。

割点

使用
T a r j a n Tarjan
算法求割点,若有边
u v u\to v
,如果
l o w [ v ] > = d f n [ u ] low[v]>=dfn[u]
则说明
v v
无法连接到比
u u
更早的点,说明
u u
是割点。特别的,根节点无法通过此关系判断是否为割点,根节点需要判定子树大于等于
2 2
则为割点。

void Tarjan(int u,int fa){
	int child=0;//子树个数
	dfn[u]=low[u]=++cnt;//初始化dfn=low
	for(int i=head[u];i;i=last[i]){//遍历u的所有边
		int v=to[i];//v是以u为起点的边的终点顶点
		if(!dfn[v]){//如果还没有访问过v
			Tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]&&u!=root) cut[u]=1;//记录割点
		}else if(dfn[u]>dfn[v]&&v!=fa){
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(u==root&&child>=2) cut[u]=1;
}

割边

判断割边,只需要将上述代码的if(low[v]>=dfn[u]&&u!=root)改为if(low[v]>dfn[u]&&u!=root)即可求割边数量。

今天的文章【C++】Tarjan算法分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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