C++ 补码详解

文章目录

• • 一、引例
  • 二、机器数和真值
  • • 1、机器数
    • 2、真值
  • 三、计算机编码
  • • 1、原码
    • 2、补码
    • 3、反码
    • 4、编码总结
  • 四、为什么要用补码
  • • 1、主要目的
    • 2、原码运算
    • 3、反码运算
    • 4、补码运算
  • 五、回到原点

一、引例

	printf("%d\n", abs(INT_MIN));

• 这段的代码正确输出应该是什么呢？
• 凭直觉肯定是个正数，因为 abs 这个函数是求一个数的绝对值，数学上任何数的绝对值都是大于等于0的；然而…

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• 那么我们来研究一下，计算机背后到底做了什么手脚；

二、机器数和真值

1、机器数

• 我们知道计算机是内部由 0 和 1 组成的编码，无论是整数还是浮点数，都会涉及到负数，对于机器来说是不知道正负的，而 “正” 和 “负” 正好是两种对立的状态，所以规定用 “0” 表示 “正”，“1” 表示 “负”，这样符号就被数字化了，并且将它放在有效数字的前面，就成了有符号数；
• 把符号 “数字化” 的数称为 机器数；

2、真值

• 而带有 “+” 或者 “-” 的数称为 真值；
• 然而，当符号位和数值部分放在一起后，如何让它一起参与运算呢？那就要涉及到接下来要讲的计算机的各种编码了；

三、计算机编码

1、原码

• 这里的原码并不是源码（源代码）的意思，而是机器数中最简单的一种表示形式；为了快速理解，这里只介绍整数，不介绍小数的情况；

【原码定义】 符号位为 0 代表正数，符号位为 1 代表负数，数值位为真值的绝对值。

[ x ] 原 = { x ( 0 < = x < 2 n − 1 ) 2 n − 1 − x ( − 2 n − 1 < x < = 0 ) [x]_原 = \begin{cases} x & (0 <= x < 2^{n-1})\\ 2^{n-1} – x & (-2^{n-1} < x <= 0)\\ \end{cases} [x]原​={x2n−1−x​(0<=x<2n−1)(−2n−1<x<=0)​
（这里 n n n 的取值是 8 、 16 、 32 、 64 8、16、32、64 8、16、32、64，目前计算机的整型 int 都是 32 位的，但是为了便于阅读，本文介绍的整数都按照 8 位来举例）

【原码举例】

• 1）当真值 x = +100101 时，原码为：00100101；
• 2）当真值 x = -100101 时，原码为：10100101；
• 原码是最贴近人类的编码方式，并且很容易和真值进行转换，但是让计算机用原码进行加减运算过于繁琐，如果两个数符号位不同，需要先判断绝对值大小，然后用绝对值大的减去绝对值小的，并且符号以绝对值大的数为准，本来是加法却需要用减法来实现；为了让计算机做的事情尽量简单，于是设计出来了补码；

2、补码

【补码定义】 正数的补码是它本身，符号位为0；负数的补码为原码数值位取反后+1，符号位为1；
[ x ] 补 = { x ( 0 < = x < 2 n − 1 ) 2 n + x ( − 2 n − 1 < = x < 0 ) [x]_补 = \begin{cases} x & (0 <= x < 2^{n-1})\\ 2^{n} + x & (-2^{n-1} <= x < 0)\\ \end{cases} [x]补​={x2n+x​(0<=x<2n−1)(−2n−1<=x<0)​
【补码举例】

• 1）当真值 x = +100101 时，补码为：00100101；
• 2）当真值 x = -100101 时， 补码为：11011011；

（尝试把负数的数值部分和它的补码进行相加运算，可以得到 2 n 2^n 2n）

3、反码

• 反码一般用来作为 补码 求 原码 或者 原码 求 补码 的中间过渡；

【反码定义】 整数的反码是它本身，符号位为0；负数的反码为原码数值取反，符号位为1；
[ x ] 反 = { x ( 0 < = x < 2 n − 1 ) 2 n − 1 + x ( − 2 n − 1 < x < = 0 ) [x]_反 = \begin{cases} x & (0 <= x < 2^{n-1})\\ 2^{n}-1 + x & (-2^{n-1} < x <= 0)\\ \end{cases} [x]反​={x2n−1+x​(0<=x<2n−1)(−2n−1<x<=0)​
【反码举例】

• 1）当真值 x = +100101 时，补码为：00100101；
• 2）当真值 x = -100101 时， 补码为：11011010；

（尝试把负数的数值部分和它的补码进行相加运算，可以得到 2 n − 1 2^n-1 2n−1）

4、编码总结

• 1）这三种机器数的最高位均为符号位；
• 2）当真值为正数时，原码、补码、反码的表示形式相同，符号位用 “0” 表示，数值部分真值相同；

[ + 1 ] = [ 00000001 ] 原 = [ 00000001 ] 反 = [ 00000001 ] 补 [+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补 [+1]=[00000001]原​=[00000001]反​=[00000001]补​

• 3）当真值为负数时，原码、补码、反码的表示形式不同，但是符号位都用 “1” 表示，数值部分：反码是原码的 “每位求反”，补码是原码的 “取反加1”；

[ − 1 ] = [ 10000001 ] 原 = [ 11111110 ] 反 = [ 11111111 ] 补 [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补 [−1]=[10000001]原=[11111110]反=[11111111]补

四、为什么要用补码

1、主要目的

• 计算机的四则运算希望设计的尽量简单。但是引入符号位的概念，对于计算机来说还要考虑正负数相加，等于引入了减法，所以希望是计算机底层只设计一个加法器，就能把加法和减法都做了。

2、原码运算

• 对于原码的加法，两个正数相加的情况如下：

1 + 1 = [ 00000001 ] 原 + [ 00000001 ] 原 = [ 00000010 ] 原 1 + 1 = [00000001]_原 + [00000001]_原 = [00000010]_原 1+1=[00000001]原​+[00000001]原​=[00000010]原​ = 2

• 好像没有什么问题？于是人们开始探索减法，但是起初设计的人的初衷是希望不用减法，只用加法运算就能够将加法和减法都包含进来，于是，我们尝试用原码的负数表示来做运算；

1 − 2 = 1 + ( − 2 ) = [ 00000001 ] 原 + [ 10000010 ] 原 = [ 10000011 ] 原 1 – 2 = 1 + (-2) = [00000001]_原 + [10000010]_原 = [10000011]_原 1−2=1+(−2)=[00000001]原​+[10000010]原​=[10000011]原​ = -3

• 这个结果是错的，于是为了解决减法问题，引入了反码运算；

3、反码运算

• 对于反码的加法，一正一负两数相加的情况如下：

1 − 2 = 1 + ( − 2 ) = [ 00000001 ] 反 + [ 11111101 ] 反 = [ 11111110 ] 反 1 – 2 = 1 + (-2) = [00000001]_反 + [11111101]_反 = [11111110]_反 1−2=1+(−2)=[00000001]反​+[11111101]反​=[11111110]反​ = -1

• 没有什么问题？但是某种情况下，反码会有歧义，当两个相同的数相减时，如下：

1 − 1 = 1 + ( − 1 ) = [ 00000001 ] 反 + [ 11111110 ] 反 = [ 11111111 ] 反 1 – 1 = 1 + (-1) = [00000001]_反 + [11111110]_反 = [11111111]_反 1−1=1+(−1)=[00000001]反​+[11111110]反​=[11111111]反​ = -0

• 这里出现了一个奇怪的概念，就是 “负零”，反码运算过程中会出现有两个编码表示零这个数值；
• 为了解决正负零的问题引入了补码的概念；

4、补码运算

• 1）一正一负两个数相加，且非零的情况：

1 − 2 = 1 + ( − 2 ) = [ 00000001 ] 补 + [ 11111110 ] 补 = [ 11111111 ] 补 1 – 2 = 1 + (-2) = [00000001]_补 + [11111110]_补 = [11111111]_补 1−2=1+(−2)=[00000001]补​+[11111110]补​=[11111111]补​ = -1

• 2）一正一负两个数相加，且答案为零的情况：

1 − 1 = 1 + ( − 1 ) = [ 00000001 ] 补 + [ 11111111 ] 补 = [ 00000000 ] 补 1 – 1 = 1 + (-1) = [00000001]_补 + [11111111]_补 = [00000000]_补 1−1=1+(−1)=[00000001]补​+[11111111]补​=[00000000]补​ = 0

两个互为相反数的数相加后，得到的数的补码为 2 n 2^n 2n（你可以认为是是溢出了），和我们之前提到的定义吻合；

• 综上所述，计算机内部都是用补码表示；

五、回到原点

• 最后我来回答下，文章一开始提到的那个问题，即为什么一个负数的绝对值还是一个负数；

• 这个负数不是一个一般的负数，它是32位有符号整型的最小值，即：
  I N T _ M I N = − 2 31 INT\_MIN = -2^{31} INT_MIN=−231

• 它的补码表示为：
  [ − 2 31 ] 补 = [ 10000000    00000000    00000000    00000000 ] 补 [-2^{31}]_补 = [10000000\ \ 00000000\ \ 00000000\ \ 00000000]_补 [−231]补​=[10000000  00000000  00000000  00000000]补​

• 从补码的定义出发：
  [ x ] 补 = { x ( 0 < = x < 2 31 ) 2 32 + x ( − 2 31 < = x < 0 ) [x]_补 = \begin{cases} x & (0 <= x < 2^{31})\\ 2^{32} + x & (-2^{31} <= x < 0)\\ \end{cases} [x]补​={

  x232+x​(0<=x<231)(−231<=x<0)​

2 31 − 2 31 = 2 31 + ( − 2 31 ) = X + [ − 2 31 ] 补 = 0 2^{31} – 2^{31} = 2^{31} + (- 2^{31}) = X + [-2^{31}]_补 = 0 231−231=231+(−231)=X+[−231]补​=0

解这个简单方程得到 X X X 唯一的值为：
[ 10000000    00000000    00000000    00000000 ] 补 [10000000\ \ 00000000\ \ 00000000\ \ 00000000]_补 [10000000  00000000  00000000  00000000]补​

• 所以在 32位有符号整数体系内， I N T _ M I N = − I N T _ M I N INT\_MIN = -INT\_MIN INT_MIN=−INT_MIN；