本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。
矩阵对角化条件
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定义一:若存在可逆矩阵 S S ,使得
S−1AS
为对角矩阵,则称为矩阵 A A 是可对角化的(diagonalized)。- 设
n×n
矩阵有 n n 个线性无关的特征向量
x1,...,xn
,令 S=(x1,...,xn) S = ( x 1 , . . . , x n ) ,则:
AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟ A S = A ( x 1 , . . . , x n ) = ( λ 1 x 1 , . . . , λ n x n ) = ( x 1 , . . . , x n ) ( λ 1 . . . λ n )AS=SΛ⇒S−1AS=Λ A S = S Λ ⇒ S − 1 A S = Λ-
定义二: n×n n × n 矩阵 A A 可对角化的充要条件是
A
有 n n 个线性无关的特征向量。那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢?
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定义三:
λ1,..,λn
是矩阵 A A 的互异特征值,
x1,...,xn
是相应的特征向量,则 x1,...,xn x 1 , . . . , x n 线性无关。- 可利用vandermonde行列式证明
- 可用反证法证明
- 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。
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定义四:若 n×n n × n 矩阵有 n n 个互异的特征值,则矩阵可以对角化。
- 但若矩阵有相同的特征值,也可能可以对角化。
相似矩阵性质
- 若
n
阶矩阵 A A 与
B
相似,则 A与B A 与 B 特征多项式相同。 - 相似矩阵特征值相同。
- 相似矩阵行列式相同。
- 具有相同的可逆性。
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几何重数与代数重数
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定义:设 det(A−λI)=(λ1−λ)n1...(λk−λ)nk d e t ( A − λ I ) = ( λ 1 − λ ) n 1 . . . ( λ k − λ ) n k ,称 ni n i 为特征值 λi λ i 的代数重数(algebraic multiplicity),记做 AM(λi)=ni A M ( λ i ) = n i ,称 dimN(A−λiI) d i m N ( A − λ i I ) 为特征值 λi λ i 的几何重数(geometric multiplicity),记做 GM(λi)=dimN(A−λ+iI) G M ( λ i ) = d i m N ( A − λ + i I ) 。
从直观上看,代数重数就是对应的特征值的次数,几何重数是特征向量的维数,探究的就是特征值和特征向量之间的关系。
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任意复方阵相似于上三角阵,且对角元为上三角矩阵的特征值。
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GM(λ)≤AM(λ) G M ( λ ) ≤ A M ( λ )
由定理2, A A 相似于上三角矩阵
T
,则 A A 和
T
有相同的特征值,且对于任意特征值 λi λ i , GMA(λi)=GMT(λi) G M A ( λ i ) = G M T ( λ i ) 。因此,不妨设 A A 是上三角阵,即
A=⎛⎝⎜a11...ann⎞⎠⎟
。因此 A−λiI A − λ i I 为对角线上对应的特征值为0,但这一行不一定为0(最多矩阵的特征值少1),因此新的矩阵 r(A−λiI)≥n−AM(λi) r ( A − λ i I ) ≥ n − A M ( λ i )
所以 GM(λi)=n−r(A−λiI)≤AM(λi) G M ( λ i ) = n − r ( A − λ i I ) ≤ A M ( λ i ) 。
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若复方阵 A A 可对角化
⇔
对任意特征值 λi λ i , GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) 。因为若 GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) ,则矩阵有 n n 个线性无关的特征向量。
矩阵对角化判断
- 求出矩阵的所有特征值。
- 对于每个特征值,计算特征向量,并检查
r(A−λiI)=n−AM(λi)
是否成立。 - 若都成立,则计算特征向量(基础解系)。
- 最后将特征向量与特征值对应起来,就可以写出 P−1AP=Λ P − 1 A P = Λ 。
注意:使矩阵对角化的特征向量不是唯一的(可以乘上常数倍)。
矩阵对角化的应用
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可快速计算 Ak A k 。
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可计算Markov过程中的平稳分布 π π 。
可得到方程: πP=ππ1=1 π P = π π 1 = 1 。
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计算Fibonacci数列。
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差分方程 uk+1=Auk u k + 1 = A u k 描述的离散动力系统的长期行为
设 A A 可对角化,即存在可逆矩阵
S=(x1,...,xn)
,使得 S−1AS=Λ S − 1 A S = Λ设 S−1u0=(c1,...,cn)T S − 1 u 0 = ( c 1 , . . . , c n ) T ,即 u0=c1x1+...+cnxn u 0 = c 1 x 1 + . . . + c n x n 。
uk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn u k = A k u 0 = S Λ k S − 1 u 0 = c 1 λ 1 k x 1 + . . . + c n λ n k x n可以看出, uk u k 的增长因子 λki λ i k 支配,因此系统的稳定性依赖于 A A 的特征值。
当所有特征值
|λi|<1
时,是稳定的;当所有特征值 |λi|≤1 | λ i | ≤ 1 时,是中性稳定的;
当至少有一个特征值 |λi|>1 | λ i | > 1 时,是不稳定的;
同时对角化
- 定理:若 A、B A 、 B 有相同的特征向量矩阵 P P ,使得
,则 AB=BA A B = B A 。 - 逆命题也成立:若 A、B A 、 B 都可对角化,并且 AB=BA A B = B A ,则 A、B A 、 B 可同时对角化。
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- 设
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