线性代数笔记8:矩阵的对角化

线性代数笔记8:矩阵的对角化本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。矩阵对角化条件定义一:若存在可逆矩阵SSS,使得S−1ASS−1ASS^{-1}AS为对角矩阵,则称为矩阵AAA是可对角化的(diagonalized)。设n×nn×nn\timesn矩阵有nnn个线性无关的特征向量x1,…,xnx1,…,xnx_1,…,x_n,令S=(x1,…,xn)S=(x1,…,xn)S=(x_1,…

本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。

矩阵对角化条件

  • 定义一:若存在可逆矩阵 S S ,使得
    S1AS

    S 1 A S
    为对角矩阵,则称为矩阵 A A 是可对角化的(diagonalized)。


    • n×n

      n × n
      矩阵有 n n 个线性无关的特征向量
      x1,...,xn

      x 1 , . . . , x n
      ,令 S=(x1,...,xn) S = ( x 1 , . . . , x n ) ,则:

    AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)λ1...λn A S = A ( x 1 , . . . , x n ) = ( λ 1 x 1 , . . . , λ n x n ) = ( x 1 , . . . , x n ) ( λ 1 . . . λ n )

    AS=SΛS1AS=Λ A S = S Λ ⇒ S − 1 A S = Λ

    • 定义二: n×n n × n 矩阵 A A 可对角化的充要条件是
      A

      A
      n n 个线性无关的特征向量。

      那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢?

    • 定义三:
      λ1,..,λn

      λ 1 , . . , λ n
      是矩阵 A A 的互异特征值,
      x1,...,xn

      x 1 , . . . , x n
      是相应的特征向量,则 x1,...,xn x 1 , . . . , x n 线性无关。

      • 可利用vandermonde行列式证明
      • 可用反证法证明
      • 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。
    • 定义四: n×n n × n 矩阵有 n n 个互异的特征值,则矩阵可以对角化。

      • 但若矩阵有相同的特征值,也可能可以对角化。

    相似矩阵性质


    1. n

      n
      阶矩阵 A A
      B

      B
      相似,则 AB A 与 B 特征多项式相同。

    2. 相似矩阵特征值相同。
    3. 相似矩阵行列式相同。
    4. 具有相同的可逆性。
    5. 几何重数与代数重数

      1. 定义: det(AλI)=(λ1λ)n1...(λkλ)nk d e t ( A − λ I ) = ( λ 1 − λ ) n 1 . . . ( λ k − λ ) n k ,称 ni n i 为特征值 λi λ i 的代数重数(algebraic multiplicity),记做 AM(λi)=ni A M ( λ i ) = n i ,称 dimN(AλiI) d i m N ( A − λ i I ) 为特征值 λi λ i 的几何重数(geometric multiplicity),记做 GM(λi)=dimN(Aλ+iI) G M ( λ i ) = d i m N ( A − λ + i I )

        从直观上看,代数重数就是对应的特征值的次数,几何重数是特征向量的维数,探究的就是特征值和特征向量之间的关系。

      2. 任意复方阵相似于上三角阵,且对角元为上三角矩阵的特征值。

      3. GM(λ)AM(λ) G M ( λ ) ≤ A M ( λ )

        由定理2, A A 相似于上三角矩阵
        T

        T
        ,则 A A
        T

        T
        有相同的特征值,且对于任意特征值 λi λ i GMA(λi)=GMT(λi) G M A ( λ i ) = G M T ( λ i )

        因此,不妨设 A A 是上三角阵,即
        A=a11...ann

        A = ( a 11 . . . a n n )

        因此 AλiI A − λ i I 为对角线上对应的特征值为0,但这一行不一定为0(最多矩阵的特征值少1),因此新的矩阵 r(AλiI)nAM(λi) r ( A − λ i I ) ≥ n − A M ( λ i )

        所以 GM(λi)=nr(AλiI)AM(λi) G M ( λ i ) = n − r ( A − λ i I ) ≤ A M ( λ i )

      4. 若复方阵 A A 可对角化


        对任意特征值 λi λ i GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i )

        因为若 GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) ,则矩阵有 n n 个线性无关的特征向量。

      矩阵对角化判断

      1. 求出矩阵的所有特征值。
      2. 对于每个特征值,计算特征向量,并检查
        r(AλiI)=nAM(λi)

        r ( A λ i I ) = n A M ( λ i )
        是否成立。

      3. 若都成立,则计算特征向量(基础解系)。
      4. 最后将特征向量与特征值对应起来,就可以写出 P1AP=Λ P − 1 A P = Λ

      注意:使矩阵对角化的特征向量不是唯一的(可以乘上常数倍)。

      矩阵对角化的应用

      1. 可快速计算 Ak A k

      2. 可计算Markov过程中的平稳分布 π π

        可得到方程: πP=ππ1=1 π P = π π 1 = 1

      3. 计算Fibonacci数列。

      4. 差分方程 uk+1=Auk u k + 1 = A u k 描述的离散动力系统的长期行为

        A A 可对角化,即存在可逆矩阵
        S=(x1,...,xn)

        S = ( x 1 , . . . , x n )
        ,使得 S1AS=Λ S − 1 A S = Λ

        S1u0=(c1,...,cn)T S − 1 u 0 = ( c 1 , . . . , c n ) T ,即 u0=c1x1+...+cnxn u 0 = c 1 x 1 + . . . + c n x n

        uk=Aku0=SΛkS1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn u k = A k u 0 = S Λ k S − 1 u 0 = c 1 λ 1 k x 1 + . . . + c n λ n k x n

        可以看出, uk u k 的增长因子 λki λ i k 支配,因此系统的稳定性依赖于 A A 的特征值。

        当所有特征值
        |λi|<1

        | λ i | < 1
        时,是稳定的;

        当所有特征值 |λi|1 | λ i | ≤ 1 时,是中性稳定的;

        当至少有一个特征值 |λi|>1 | λ i | > 1 时,是不稳定的;

      同时对角化

      1. 定理: AB A 、 B 有相同的特征向量矩阵 P P ,使得

        P 1 A P = Λ 1 , P 1 B P = Λ 2
        ,则 AB=BA A B = B A
      2. 逆命题也成立:若 AB A 、 B 都可对角化,并且 AB=BA A B = B A ,则 AB A 、 B 可同时对角化。

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