7. min 与 argmin

• min 和 argmin 在机器学习中常用.
• max 和 argmax 同理.

7.1 min

• min 是 minimal 的缩写, 用于获得集合中的最小值. 如:
  min ⁡ { 3 , 1 , 9 , 8 } = 1 \min \{3, 1, 9, 8\} = 1 min{
  3,1,9,8}=1. 源码: \min {3, 1, 9, 8} = 1, 即 \min 是定义好的一种符号.
• min 可以与向量/矩阵配合使用. 如:
  给定向量 $\mathbf{x}=[3,1,9,8]$, 则
  ${\min }_{1\le i\le 4}{x}_i=1$ 本质与前面的集合方式相同.
• min 可以和函数配合使用. 如:
  令 $f(x)=x^2+x+1$, 则
  ${\min }_{-1\le x\le 1}f(x)$ 表示 $x$ 取 $[-1,1]$ 区间的任意数, 都会获得一个函数值, 这些函数值构成了一个集合 (重复元素只算一次), 最终取最小的元素.
  源码: \min_{-1 \le x \le 1} f(x), 其中 \le 表示 less than or equal, 也可以写作 \leq.

7.2 argmin

• argmin 是argument minimal 的缩写, 用于获得使函数取最小值的参数. 我也不清楚为啥用 argument 而不是 parameter.
• \arg\min 总是可用的. 如果你的 Latex 模板不支持 \argmin, 可以在 tex 文件头部加上
  \DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin}
• argmin 后面不能再直接跟集合, 如
  arg min ⁡ { 3 , 1 , 9 , 8 } \argmin \{3, 1, 9, 8\} argmin{
  3,1,9,8} 没法计算.
• argmin 可以与向量/矩阵配合使用, 这时参数可以是向量下标. 如:
  给定向量 $\mathbf{x}=[3,1,9,8]$, 则
  $\underset{1\le i\le 4}{\mathrm{argmin}}{x}_i=2$ 的值是使得 $x_i$ 最小的参数值, 即下标 $i$ 的值.
  给定矩阵
  $$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{llll}3& 2& 9& 8\\ 7& 6& 1& 4\end{array}\right]$$
  源码: \mathbf{X} = \left[\begin{array}{llll}3 & 2 & 9 & 8\ 7 & 6 & 1 & 4 \end{array}\right].
  则 $\underset{i,j}{\mathrm{argmin}}{x}_{ij}=(2,3)$ 的值是使得 $x_{ij}$ 最小的参数值, 即 $i=2$, $j=3$. 注意这是返回了两个数据, 在 Java 里面要专门处理, 但 Python 可以直接支持.
• argmin 与函数配合最常见. 如:
  令 $f(x)=x^2+x+1$, 则
  $\underset{-1\le x\le 1}{\mathrm{argmin}}f(x)=-\frac{1}{2}$ 表示 $x$ 取 $-\frac{1}{2}$ 时函数取最小值 $\frac{3}{4}$. 只是这个最小值已经没人关心.

7.3 作业

解释 推荐系统: 问题、算法与研究思路 2.1 中的优化目标
$$\min \sum _{(i,j)\in \Omega }(f({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{t}}_j)-r_{ij}{)}^2$$
各符号及含义.

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