前向传播算法(Forward propagation)与反向传播算法(Back propagation)

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虽然学深度学习有一段时间了，但是对于一些算法的具体实现还是模糊不清，用了很久也不是很了解。因此特意先对深度学习中的相关基础概念做一下总结。先看看前向传播算法(Forward propagation)与反向传播算法(Back propagation)。

1.前向传播

如图所示，这里讲得已经很清楚了，前向传播的思想比较简单。
举个例子，假设上一层结点i,j,k,…等一些结点与本层的结点w有连接，那么结点w的值怎么算呢？就是通过上一层的i,j,k等结点以及对应的连接权值进行加权和运算，最终结果再加上一个偏置项（图中为了简单省略了），最后在通过一个非线性函数（即激活函数），如ReLu，sigmoid等函数，最后得到的结果就是本层结点w的输出。
最终不断的通过这种方法一层层的运算，得到输出层结果。

对于前向传播来说，不管维度多高，其过程都可以用如下公式表示：
$$a^2=\sigma (z^2)=\sigma (a^1\ast W^2+b^2)$$

其中，上标代表层数，星号表示卷积，b表示偏置项bias，$\sigma$表示激活函数。

2.反向传播算法(Back propagation)

BackPropagation算法是多层神经网络的训练中举足轻重的算法。简单的理解，它的确就是复合函数的链式法则，但其在实际运算中的意义比链式法则要大的多。要回答题主这个问题“如何直观的解释back propagation算法？” 需要先直观理解多层神经网络的训练。

机器学习可以看做是数理统计的一个应用，在数理统计中一个常见的任务就是拟合，也就是给定一些样本点，用合适的曲线揭示这些样本点随着自变量的变化关系.

深度学习同样也是为了这个目的，只不过此时，样本点不再限定为(x, y)点对，而可以是由向量、矩阵等等组成的广义点对(X,Y)。而此时，(X,Y)之间的关系也变得十分复杂，不太可能用一个简单函数表示。然而，人们发现可以用多层神经网络来表示这样的关系，而多层神经网络的本质就是一个多层复合的函数。借用网上找到的一幅图[1]，来直观描绘一下这种复合关系。

其对应的表达式如下：

上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度学习需要学习的参数，也就相当于直线拟合y=k*x+b中的待求参数k和b。

和直线拟合一样，深度学习的训练也有一个目标函数，这个目标函数定义了什么样的参数才算一组“好参数”，不过在机器学习中，一般是采用成本函数（cost function），然后，训练目标就是通过调整每一个权值Wij来使得cost达到最小。cost函数也可以看成是由所有待求权值Wij为自变量的复合函数，而且基本上是非凸的，即含有许多局部最小值。但实际中发现，采用我们常用的梯度下降法就可以有效的求解最小化cost函数的问题。

梯度下降法需要给定一个初始点，并求出该点的梯度向量，然后以负梯度方向为搜索方向，以一定的步长进行搜索，从而确定下一个迭代点，再计算该新的梯度方向，如此重复直到cost收敛。那么如何计算梯度呢？

假设我们把cost函数表示为$H(W_{11},W_{12},\cdots ,W_{ij},\cdots ,W_{mn})$,那么它的梯度向量[2]就等于$\nabla H=\frac{\partial H}{\partial W_{11}}{\mathbf{e}}_{11}+\cdots +\frac{\partial H}{\partial W_{mn}}{\mathbf{e}}_{mn}$, 其中${\mathbf{e}}_{ij}$表示正交单位向量。为此，我们需求出cost函数H对每一个权值Wij的偏导数。而BP算法正是用来求解这种多层复合函数的所有变量的偏导数的利器。

我们以求e=(a+b)*(b+1)的偏导[3]为例。
它的复合关系画出图可以表示如下：

在图中，引入了中间变量c,d。
为了求出a=2, b=1时，e的梯度，我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系，如下图所示。

利用链式法则我们知道：
$$\frac{\partial e}{\partial a}=\frac{\partial e}{\partial c}\cdot \frac{\partial c}{\partial a}以及\frac{\partial e}{\partial b}=\frac{\partial e}{\partial c}\cdot \frac{\partial c}{\partial b}+\frac{\partial e}{\partial d}\cdot \frac{\partial d}{\partial b}$$

链式法则在上图中的意义是什么呢？其实不难发现，$\frac{\partial e}{\partial a}$的值等于从a到e的路径上的偏导值的乘积，而$\frac{\partial e}{\partial b}$的值等于从b到e的路径1(b-c-e)上的偏导值的乘积加上路径2(b-d-e)上的偏导值的乘积。也就是说，对于上层节点p和下层节点q，要求得$\frac{\partial p}{\partial q}$，需要找到从q节点到p节点的所有路径，并且对每条路径，求得该路径上的所有偏导数之乘积，然后将所有路径的 “乘积” 累加起来才能得到$\frac{\partial p}{\partial q}$的值。

大家也许已经注意到，这样做是十分冗余的，因为很多路径被重复访问了。比如上图中，a-c-e和b-c-e就都走了路径c-e。对于权值动则数万的深度模型中的神经网络，这样的冗余所导致的计算量是相当大的。

同样是利用链式法则，BP算法则机智地避开了这种冗余，它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。
正如反向传播(BP)算法的名字说的那样，BP算法是反向(自上往下)来寻找路径的。

从最上层的节点e开始，初始值为1，以层为单位进行处理。对于e的下一层的所有子节点，将1乘以e到某个节点路径上的偏导值，并将结果“堆放”在该子节点中。等e所在的层按照这样传播完毕后，第二层的每一个节点都“堆放”些值，然后我们针对每个节点，把它里面所有“堆放”的值求和，就得到了顶点e对该节点的偏导。然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点，初始值设为顶点e对它们的偏导值，以”层”为单位重复上述传播过程，即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。

以上图为例，节点c接受e发送的12并堆放起来，节点d接受e发送的13并堆放起来，至此第二层完毕，求出各节点总堆放量并继续向下一层发送。节点c向a发送21并对堆放起来，节点c向b发送21并堆放起来，节点d向b发送31并堆放起来，至此第三层完毕，节点a堆放起来的量为2，节点b堆放起来的量为21+3*1=5, 即顶点e对b的偏导数为5.

举个不太恰当的例子，如果把上图中的箭头表示欠钱的关系，即c→e表示e欠c的钱。以a, b为例，直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪，c说e欠我钱，你向他要。于是a又跨过c去找e。b先向c讨薪，同样又转向e，b又向d讨薪，再次转向e。可以看到，追款之路，充满艰辛，而且还有重复，即a, b 都从c转向e。

而BP算法就是主动还款。e把所欠之钱还给c，d。c，d收到钱，乐呵地把钱转发给了a，b，皆大欢喜。

3.反向传播具体计算过程推导

为了方便起见，这里我定义了三层网络，输入层（第0层），隐藏层（第1层），输出层（第二层）。并且每个结点没有偏置（有偏置原理完全一样），激活函数为sigmod函数（不同的激活函数，求导不同），符号说明如下：

对应网络如下：

其中对应的矩阵表示如下

首先我们先走一遍正向传播，公式与相应的数据对应如下：

那么：

同理可以得到：

那么最终的损失为

，我们当然是希望这个值越小越好。这也是我们为什么要进行训练，调节参数，使得最终的损失最小。这就用到了我们的反向传播算法，实际上反向传播就是梯度下降法中链式法则的使用。

下面我们看如何反向传播

根据公式，我们有：

这个时候我们需要求出C对w的偏导，则根据链式法则有：

同理有：

到此我们已经算出了最后一层的参数偏导了.我们继续往前面链式推导：

我们现在还需要求

，下面给出一个推导其它全都类似

同理可得其它几个式子：

则最终的结果为：

再按照这个权重参数进行一遍正向传播得出来的Error为0.165

而这个值比原来的0.19要小，则继续迭代，不断修正权值，使得代价函数越来越小，预测值不断逼近0.5.我迭代了100次的结果，Error为5.92944818e-07（已经很小了，说明预测值与真实值非常接近了），最后的权值为：

bp过程可能差不多就是这样了，可能此文需要你以前接触过bp算法，只是还有疑惑，一步步推导后，会有较深的理解。

上面的python代码实现如下：

#!/usr/bin/env python
#coding:utf-8


import numpy as np

def nonlin(x, deriv = False):
    if(deriv == True):
        return x * (1 - x)
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


X = np.array([[0.35], [0.9]])
y = np.array([[0.5]])

np.random.seed(1)

W0 = np.array([[0.1, 0.8], [0.4, 0.6]])
W1 = np.array([[0.3, 0.9]])

print 'original ', W0, '\n', W1

for j in xrange(100):
    l0 = X
    l1 = nonlin(np.dot(W0, l0))
    l2 = nonlin(np.dot(W1, l1))
    l2_error = y - l2
    Error = 1 / 2.0 * (y-l2)**2
    print 'Error:', Error

    l2_delta = l2_error * nonlin(l2, deriv=True)

    l1_error = l2_delta * W1 #back propagation
    l1_delta = l1_error * nonlin(l1, deriv=True)

    W1 += l2_delta * l1.T
    W0 += l0.T.dot(l1_delta)
    print W0, '\n', W1

参考文档：

1.http://blog.csdn.net/lhanchao/article/details/51419150
2.https://www.zhihu.com/question/39022858

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