我的电磁学讲义13：电磁感应定律

电磁感应现象

1820年，丹麦物理学家奥斯特发现电生磁后，物理学家纷纷探索其逆过程——磁生电。1821年英国学术杂志Philosophical Magazine（创刊于清嘉庆三年——1798年，世界上最悠久的学术期刊之一）请法拉第审阅电磁实验方面的稿件，法拉第发现电磁研究很有意义，搁下了化学方面的研究，开始研究电磁现象。

多年的探索都归于失败，但科学家继续做艰苦的努力，因为大家都知道做出磁生电将获得不朽的荣誉。这个荣誉最终归于法拉第。与奥斯特的偶然发现不同，法拉第的成功来自于漫长的系统研究。就像电荷靠近导体会在导体里感应出电荷来，法拉第试图知道一个线圈是否能在另外一个线圈中感应出电流来。法拉第的实验在好几年的时间里进入了误区，经过10余年的探索，法拉第终于找到磁生电的窍门，找到窍门之后，进行磁生电的演示就非常简单了。

图1 电磁感应演示实验——插入或拔出磁棒

图2 电磁感应演示实验——插入或拔出载流线圈

图3 电磁感应演示实验——接通或断开初级线圈的电流

图4 电磁感应演示实验——导线切割磁感线

以上实验现象揭示了一个共同的规律：穿过闭合回路的磁通量发生变化，回路中就会感应出电流。

回路里要有电流，必须有电动势，电磁感应现象相关的电动势叫做感应电动势，感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。即使回路不闭合，也会发生电磁感应，这时没有感应电流，但有感应电动势，反映在回路的端电压上。

法拉第定律

法拉第电磁感应定律：

导体回路中感应电动势\(\mathcal{E}\)的大小与穿过回路的磁通量\(\Phi\)的变化率成正比。

\begin{equation*} \mathcal{E}=-k\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt} \end{equation*}

在国际单位制中，比例系数\(k=1\)，于是

\begin{equation*} \mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_S\vec{B}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

上式只适用于单匝导线组成的回路，对于多匝线圈，每匝线圈都会产生感应电动势，由于各匝的电动势是串联的，整个线圈的电动势等于各匝电动势之和。磁场通过各匝线圈的磁通量为\(\Phi_1\)、\(\Phi_2\)、\(\cdots\)、\(\Phi_N\)，于是总的感应电动势为

\begin{equation*} \mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi_1}{\mathrm dt}-\frac{\mathrm d\Phi_2}{\mathrm dt}-\cdots-\frac{\mathrm d\Phi_N}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt} \end{equation*}

式中\(\Psi=\Phi_1+\Phi_2+\cdots+\Phi_N\)称为磁通匝链数或全磁通。

电动势和磁通量都是标量，但是有正负，正负根据某一标定方向来说的。
具体的规定是这样的：先规定回路的绕行正方向，然后由右手定则确定回路所包围面积的法向正方向\(\vec{n}\)。根据磁感应强度\(\vec{B}\)与\(\vec{n}\)的夹角定义磁通量的\(\Phi\)的正负。再根据\(\Phi\)的变化情况，确定\(\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}\)的正负，\(\mathcal{E}\)的符合与\(\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}\)的符号相反。总共有四种情况，如下图所示：

图5 感应电动势的符号

楞次定律

1834年，沙俄物理学家楞次（Heinrich Lenz）提出一个简便的的判断感应电流方向的规律：

闭合回路中感应电流的方向总是使得它所激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

图6 海因里希·楞次（Heinrich Lenz），沙俄物理学家，出生于爱沙尼亚

应用楞次定律可分析图5的结果。

其他学科里面也有类似楞次定律的规律，比如判断化学反应平衡的勒沙特烈原理，经济学里面的斯托尔珀－萨缪尔森定理、生态平衡。

例题

例1 如图，磁感应强度\(B=1000\mathrm {Gs}\)的均匀磁场垂直纸面向里，一矩形导体线框ABCD平放在纸面内，线框的\(CD\)边可沿着AD和BC滑动，设CD边长为\(l=10\mathrm{cm}\)，向右滑动速度为\(v=1\mathrm{m/s}\)，求线框中的感应电动势。

图7 例1

解答
设BC间距为\(s\)，以顺时针方向为绕行正方向，则通过线框的磁通量为

\begin{equation*} \Phi=Bls \end{equation*}

根据法拉第定律，

\begin{equation*} \mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=-Bl\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=-Blv=-0.01V \end{equation*}

\(\mathcal{E}\lt 0\)，说明感应电动势的方向与所规定的绕行方向相反，即感应电动势的方向为逆时针方向。

作业

习题 3-3,3-4

参考资料

• 《力学以外的世界》
• 赵凯华《电磁学》