Chapter 6 Eigenvalues and Eigenvectors-6.1

Chapter 6 Eigenvalues and Eigenvectors-6.16.1IntroductiontoEigenvalues连续的时间——微分方程(diffrentialequation):注:该方程为齐次的一阶线性微分方程(对应高数书上的形式)离散的时间步——差分方程(diffrentialequation):注:描述离散动力系统的差分方程上述方程不能用消元法解出来,因此想寻求一个固定方向的非零解向量,使之与矩阵相乘后,等同于一个常数乘以这个向量。也就是说向量经过矩阵描述的线性变换…

 

6.1 Introduction to Eigenvalues

  • 连续的时间——微分方程(diffrential equation):

         \frac{d\boldsymbol{u}}{dt}=\boldsymbol{Au}        注:该方程为齐次的一阶线性微分方程(对应高数书上的 \frac{dy}{dx}+P(x)y=0形式)

  • 离散的时间步——差分方程(diffrence equation):

        \boldsymbol{u}_{k+1}=\boldsymbol{Au}_{k}    注:描述离散动力系统的差分方程

上述方程不能用消元法解出来,因此想寻求一个固定方向的非零解向量\boldsymbol{u}_{k}(t)=\boldsymbol{x},使之与矩阵\boldsymbol{A}相乘后,等同于一个常数\lambda乘以这个向量\boldsymbol{x}。也就是说向量\boldsymbol{x}经过矩阵\boldsymbol{A}描述的线性变换后,没有改变方向,只改变了大小,而这个大小的改变又可以通过一个常数\lambda\boldsymbol{x}直接相乘来实现。这里面:

  • \lambda称为矩阵\boldsymbol{A}的特征值;
  • \boldsymbol{x}称为矩阵\boldsymbol{A}的对应于特征值\lambda的特征向量。

如何计算矩阵A的特征值和特征向量呢?参考矩阵特征值和特征向量详细计算过程

计算矩阵特征值和特征向量的Matlab程序见帮助文档:help eig

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