特征值问题：

Ax= lamda*x

（A-lamda*I）x = 0

B = A-lamda*I

特征值与特征向量

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上面这篇文章的重点：

将矩阵A都看做线性变换（这一点在程云鹏的《矩阵论》中也是这么做的），矩阵A左乘一个向量x，就是对这个向量x做线性变换。

对于向量x来说，总是存在那么些线性变换的方法，能够将x的方向不变化（也就是不改变x中元素的相互比例关系，i.e  将向量x进行数乘，也就是缩放）。

对于矩阵A来说，总是有那么些向量 x，在对x做自己所对应的变换之后不改变x的方向，这些 x 就是矩阵A的特征向量，而变换后与原 x 相差的数乘倍数，就是特征值。

有些矩阵“改造能力”比较强，只允许少量的向量在自己的变换之后方向不变。有些则比较“随便”，能允许更多的向量在经过自己的变换之后能够保持方向。

评判标准：将得到的lamda代入B之后，B的秩。

特征值的数目：

求解|B|=0的过程，实际是一个求解1元n次方程(最高次数必然为n，因为对角线上每个元素都含有lamda)的过程，由方程知识可知，1元n次方程有n个解(重解累计计数)。

所以必然有n个特征值。

相同特征值的情况：

求解 |B|=0 的过程中可能会有重根，重根和B的秩有什么关系？

将重根代入B，得到的r(B) = n – 重根的重数。

证明：在方程方面，有重根说明在将一元n次方程因式分解的过程中有多个因式是一样的，这多个因式中的lamda必然来自于不同行和不同列(行列式的基本性质)。

在矩阵B方面，利用|B|值不会因为某一行的数乘加到另一行而改变的性质，可以将B化成上三角形式，这时的|B|仅由对角线上的元素相乘就可以得到，得到的也就是那个一元n次方程因式分解后的情况。

于是可以知道，将一个m重根代入|B|之后，会令m个因式，也就是m个B的对角元素为0，于是r(B)=n-m。

重根的重数直接影响B的秩，进而影响特征向量的维数。更进一步地看，特征向量的维数=n-(n-m)=m，也就是说重根的特征值的重数就是对应的特征向量空间的维数。

求证：某一特征值对应特征子空间的维数小于等于特征值的重数????

应用到例子中：

A为三维单位矩阵，特征值为3重根，其特征向量的维数为3，即整个欧式空间。用之前的理论来解释，就是说A是一个极度无“改造能力”的变换，可以将任何3维向量保持方向。

问题又来了：

为什么重根的个数或者说B的秩，就能影响A“改造能力”是强还是弱呢？

这里我想到了一个很不严密的解释。前面提到了I是最没有”改造欲“的，如果我们把 B=A-lamda*I，求秩运算可以看做一种度量，这就是说，r(B)变成了衡量A的“改造能力”与I(lamda*I的“改造能力”一样为0)之间的“距离”。r(B)越大，A的“改造能力”与单位矩阵相差越大，“改造能力”越大，所支持的特征向量的维数越少。r(B)越小，A的“改造能力”和单位矩阵I越接近，“改造能力”就越小，如此，得到的特征向量的维数就越多。

特征值为0的情况：

特征值为0，说明A的行列式为0。

特征向量与特征值的对应关系：

若a1,…,as 是A的属于同一个特征值的特征向量
则其非零线性组合 k1a1+…+ksas 也是A的属于此特征值的特征向量

某个特征值的全部特征向量是对应齐次线性方程组的基础解系的非零线性组合

特征值在什么情况下对应多个特征向量：

将特征值lamda代入之后，B肯定不是满秩的，也就是说x的维数应该是 n – r(B) 其中 n是B的列数，即x的行数 ，i.e 方程的未知数个数。

于是x的维数d>=1。

如果r(B)=n-1，那么d=1。得到的特征向量只有一维，那么我们随便加一个 k，得到的kx 依然是方程的解，就依然是A的对应于lamda的特征向量。

如果r(B)=n-2，那么d=2.。得到的特征向量有两维，得到一个特征向量的解空间，k1x1+k2x2就是A对应于lamda的特征向量的解。

……

极端例子：

A是单位矩阵

矩阵作为变换的理解：

Ax = lamda*x的理解：

左边：A的列的线性组合，系数为x的元素  右边：向量x的数乘

如果|A|=0，

那么|A-lamda*I|必有 lamda=0这个解，即含有0特征值，这点由特征值之积等于行列式值也看知道。

而且由于SVD分解是将矩阵分解成 正交矩阵*奇异值矩阵*正交矩阵 所以奇异值矩阵的行列式为0，由于奇异值矩阵是对角矩阵，所以对角上必然包含0元素，即A的奇异值中也有0.

反过来，特征值x确定了之后（指的是方向的确定）

如果 

 x1 = [1 1 2]’

 x2 = [1 1 3]’

都是特征值，那么

rank（A-lamda*I ） = 1

而且

A-lamda*I的矩阵的行向量与x1 x2都正交，可以列一个方程

C = [1 1 2 3

        1 1 3 4]

CX = 0  

使用高斯消去法

得到：

x1 + x2 +      + x4 = 0

                  x3+ x4 =0

令x4 = 1，分别令 x1=1和x2=1，得到两个基

[1 0  1 1]’ 

[0 1 -1 1]’

如此可以令

A-lamda*I = [1 -1 0;1 -1 0; 1 -1 0];

就是说如果有几个相同，几个不同，那么用高斯消去法可以将相同的那几个消为0,剩下的右端为0即可

广义特征值：

Ax = lamda*Bx

相对于一般的特征值问题，将I替换成了B。继续之前的叙述，广义特征值就是A的“改造能力”与B之间的差别，即rank（A-lamda*B）看做A，B之间的一种度量。如果令B=A，那么x可以任意取值，也就是说A同其自身的”改造“一样。如果rank（A-lamda*B）满秩，则说明二者的改造能力以及改造方式差距很大，根本没有x能在分别经历两个“改造”之后还是一样的方向。

rank（A-lamda*B）在lamda未确定时，就已经不满秩，说明A和B的“改造方向”本身就比较像，必然存在非零的特征向量x，

会有什么影响？？？？

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