2021.06 更新。补充了非线性拟合中，关于最小二乘定义的问题，放在了最后一章。
2021.12更新。应评论区建议，补充了3.3章绘图用的代码。

本文首发于 matlab爱好者 微信公众号，欢迎关注。

惯例声明：本人没有相关的工程应用经验，只是纯粹对相关算法感兴趣才写此博客。所以如果有错误，欢迎在评论区指正，不胜感激。本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。

本人在学习matlab匿名函数时，作为练习有感而发，写下下面内容，非专业，难免有误。

0 前言

一般而言，通过已有的数据点去推导其它数据点，常见的方法有插值和拟合。插值适用性较广，尤其是线性插值或样条插值已被广泛的应用。但是通过已知的函数去拟合数据，是连接理论与实验重要的桥梁，这一点是插值无法替代的。

日常学习工作中，经常会遇到下面这种问题：想要用某个具体函数去拟合自己的数据，明明知道这个函数的具体形式，却不知道其中的参数怎么选取。本文就简单介绍一下matlab环境下，如何进行非线性拟合。

1 线性拟合

1.1 多项式拟合

多项式拟合就是利用下面形式的方程去拟合数据：
$$y=a+bx+c{x}^2+d{x}^3+...$$
matlab中可以用polyfit()函数进行多项式拟合。下面举一个小例子：

对于已有的数据点，我们采用4阶多项式拟合。其中已知函数的的表达式为

y=0.03 x^4 - 0.5 x^3 + 2 x^2 - 4

在此基础上添加了一些噪声点。拟合曲线依然采用4阶进行拟合，结果如下。

可以看到拟合曲线与理论曲线基本一致，说明这种方法能够较好的拟合出原始数据的趋势。源代码如下：

x=0:0.5:10;
y=0.03*x.^4-0.5*x.^3+2.0*x.^2-0*x-4+6*(rand(size(x))-0.5);
p=polyfit(x,y,4);
x2=0:0.05:10;
y2=polyval(p,x2);
figure();
subplot(1,2,1)
hold on
plot(x,y,'linewidth',1.5,'MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
plot(x,0.03*x.^4-0.5*x.^3+2.0*x.^2-0*x-4,'linewidth',1,'color','b')
hold off
legend('原始数据点','理论曲线','Location','southoutside','Orientation','horizontal')
legend('boxoff')
box on
subplot(1,2,2)
hold on
plot(x2,y2,'-','linewidth',1.5,'color','r')
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
hold off
box on
legend('拟合曲线','数据点','Location','southoutside','Orientation','horizontal')
legend('boxoff')

对于多项式拟合，不是阶数越多越好。比如还是这个上面这个例子，阶数越多，曲线越能够穿过每一个点，但是曲线的形状与理论曲线偏离越大。所以选择最适合的才是最好的。

1.2 线性拟合

线性拟合就是能够把拟合函数写成下面这种形式的：
$$y=p_1{f}_1(x)+p_2{f}_2(x)+p_3{f}_3(x)+...$$

其中f(x)是关于x的函数，其表达式是已知的。p是常数系数，这个是未知的。

对于这种形式的拟合，matlab内部有一个及其强悍的函数，可以自动输出p的解，并且满足最小二乘。这个函数就是\。没错，就是斜杠。这个符号通常用于求解方程AX=B的情况，我们用X=A\B可以求出未知数X。我们利用当A行和列不等时，输出X的最小二乘这个特性，就可以求出相应的最佳拟合。

还是举个例子

虽然看上去很非线性，但是x和y都是已知的，a、b、c是未知的，而且是线性的，所以可以被非常简单的拟合出来。假设a=2.5，b=0.5，c=-1，加入随机扰动。拟合的最终效果为：

最终得到的拟合参数为：a=2.47，b=0.47，c=-0.66。考虑到随机噪声的影响，与原始数据相差不大，源代码如下：

%线性拟合
x=0:0.5:10;
a=2.5;
b=0.5;
c=-1;
%原函数
y=a*sin(0.2*x.^2+x)+b*sqrt(x+1)+c+0.5*rand(size(x));

%拟合部分
yn1=sin(0.2*x.^2+x);
yn2=sqrt(x+1);
yn3=ones(size(x));
X=[yn1;yn2;yn3];
%拟合，得到系数
Pn=X'\y';
yn=Pn(1)*yn1+Pn(2)*yn2+Pn(3)*yn3;

%绘图
figure()
subplot(1,2,1)
plot(x,y,'linewidth',1.5,'MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
legend('原始数据点','Location','southoutside','Orientation','horizontal')
legend('boxoff')
subplot(1,2,2)
hold on
x2=0:0.01:10;
plot(x2,Pn(1)*sin(0.2*x2.^2+x2)+Pn(2)*sqrt(x2+1)+Pn(3),'-','linewidth',1.5,'color','r')
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
hold off
box on
legend('拟合曲线','数据点','Location','southoutside','Orientation','horizontal')
legend('boxoff')

事实上，其实常用的拟合方式中，有很多都是线性拟合，比如多项式拟合，傅里叶拟合等。对于多项式拟合，只需要把拟合的部分替换成x，x.^2，x.^3这种形式。对于傅里叶级数，只需要把拟合的部分替换为sin(x)，sin(2*x)，sin(3*x)这种形式就行。

下面展示一个利用线性拟合，进行不同频率的三角波级数拟合正弦函数的例子：

clear;
clc;
close all
t=0:0.001:2*pi;%原函数
YS=sin(t);%基函数
N=21;
Yo=[];
for k=1:N
    Yn=sawtooth(k*(t+pi/2),0.5);
    Yo=[Yo,Yn'];
end
YS=YS';%拟合
a = Yo\YS;
%绘图
figure()
for k=1:N
    clf
    plot(t,Yo(:,1:k)*a(1:k,:),t,YS,'LineWidth',1)
    ylim([-1.3,1.3])
    xlim([0,6.3])
    pause(0.1)
end

2 一维非线性拟合

2.1 简单的非线性拟合

前面介绍了线性的拟合方法。如果一个非线性方程，可以化为上面线性方程中公式中给出的样子，那么我们也可以套用线性的方法去求解。

比如下面的方程：
$$y=a\ast \exp (-bx)$$
经过取对数变换，可以变为下面等效的线性形式：
$$\lg (y)=\lg (a)+b\ast (-x)$$
这样求出来之后，再反变换回去，就可以得到原方程的系数了。

代码如下：

clear
clc
close all

%方法1
x=0:0.5:10;
a=2.5;
b=0.5;
%原函数
y=a*exp(-b*x);
y=y+0.5*y.*rand(size(y));%加噪声
%变形函数
%Lg_y=Lg_a+b*(-x)
Lg_y=log(y);
%拟合部分
yn1=ones(size(x));
yn2=-x;
X=[yn1;yn2];
%拟合，得到系数
Pn=X'\Lg_y';
%反变换
a_fit=exp(Pn(1));
b_fit=Pn(2);
%绘图
figure()
hold on
x2=0:0.01:10;
plot(x2,a_fit*exp(-b_fit*x2),'-','linewidth',1.5,'color','r')
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
hold off

2.2 matlab中Curve Fitting App

matlab自带了一个Curve Fitting App，它在matlab集成的App里面。

界面左边输入数据，右侧选择方法。

界面里常用的拟合方式都有，而且直接展示拟合效果，非常方便。非常适合鼠标直接拖拖拽拽点点点的操作方式。

2.3 matlab中非线性拟合的实现

2.3.1 fit()函数

matlab中，fit()函数是一个比较通用的用于函数拟合的函数。它的优点就是非常的全面，可以用于各种种类的拟合。上面的App里，很多拟合种类都是间接调用了fit函数来实现的拟合。

对于非线性拟合，可以使用fit()函数中的Nonlinear Least Squares方法。其大概原理为，首先确定一个初始的点，计算该点的雅可比矩阵J，来近似线性化的判断该点周围的趋势，并将这个点向更小的方向移动。

因此，这个方法的一个缺点在于，对于初始点的选取非常敏感，最终结果只能在初始点附近的局部最小值点上，而不能保证全局最小值。

2.3.2 nlinfit()函数

相比于前面的fit()函数，nlinfit()函数是matlab专门的非线性拟合函数。对于非稳健估计，采用的是Levenberg-Marquardt（LM）方法，也叫阻尼最小二乘法。对于稳健估计，采用的是Iteratively Reweighted Least Squares方法，也就是在Least Squares基础上，对每一个拟合点的权重进行调整的一种方法。这两者方法也都是基于雅克比矩阵的方法。

2.3.3 lsqnonlin()函数和lsqcurvefit()函数

lsqnonlin()也是matlab中自带的一个非线性拟合函数。它给出了两种计算非线性拟合的方法，一种是比较经典之前介绍过的LM方法，一种是信赖域方法。信赖域法（trust region reflective）是通过Hessian 矩阵，逐步试探邻域内的最小化，来求解问题的。相比较之前的那些雅克比相关的方法，信赖域法会占用更多内存和速度，所以适用于中小规模的矩阵。

lsqcurvefit()函数和lsqnonlin()内容上相似，只是引用格式上有所不同。

2.3.4 fsolve()函数

这也是一个求解非线性方程的函数，可以求解方程组或者矩阵形式，功能非常强大。默认的算法为trust-region-dogleg，俗称狗腿法，属于信赖域法。这里用到的功能比较基础，所以也不过多介绍了。

2.3.5 粒子群算法

说了那么多，发现逐渐从如何非线性拟合，陷入到了最优化的深坑里。而且前面的那么多方法，很多都解决不了陷入到局部最优解的问题。实际上，这种问题如果进入了最优化领域，很多智能算法也可以被考虑进来。所以我也把粒子群PSO算法加入到了里面，尝试将结果收敛到全局最优解。

2.3.6 不同算法的对比效果

第一个例子是 y=a.*exp(-b\*(x-c).^2)+d，一个简单的高斯函数形式的非线性方程，其参数给定为：

在已知函数形式，求解这四个参数条件下，6种不同的函数非拟合效果如下：

可以看到，这几种方法都能够较好的拟合出想要的结果。

第二个例子是一个指数增长的正弦函数，在很多线性系统中都可以测量到这种信号。函数的形式为：

y=a*x+b*sin(c*x).*exp(d*x)+e 。其给定的参数为：

这个函数的拟合具有一定难度，拟合过程中会遇到非常多的局部解。

由于初始点比较随机，所以最终结果每次都会不一样。
其中前面的几种方法对于初始值的敏感度比较高，如果初始值选的比较接近原始解，也是可以得到较好的结果。其中nlinfit函数经常会报错，容错率较低。而PSO算法经常能够收敛到最优解（虽然不是每次都可以，偶尔也会陷入局部解）。

代码如下：

clear
clc
%函数大比拼
close all

%初始设置
x = 0:0.1:10;
a = -0.3;
b = 2.1;
c = 4.4;
d = 0.3;
e = 1.7;

y = a*x+b*sin(c*x).*exp(d*x)+e;
noise = 0.05*abs(y-1).*randn(size(x));
y = y+noise;%加噪声函数

figure();%plot(x,y)
y_lim = [-40,40];

%% 1 fit()函数 Least Squares
ft = fittype( 'a*x+b*sin(c*x).*exp(d*x)+e', 'independent', 'x', 'dependent', 'y' );
OP1 = fitoptions( 'Method', 'NonlinearLeastSquares' );
OP1.StartPoint = 5*rand(1,5);%初始值，越靠近真实值越好
OP1.Lower = [-2,0,2,0,0];%参数的最小边界
OP1.Upper = [1,3,5,3,3];%参数的最大边界
%拟合
fitobject = fit(x',y',ft,OP1); 
a2=fitobject.a;
b2=fitobject.b;
c2=fitobject.c;
d2=fitobject.d;
e2=fitobject.e;
%展示结果
y1 = a2*x+b2*sin(c2*x).*exp(d2*x)+e2;
subplot(3,2,1)
hold on
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
plot(x,y1,'-','linewidth',1.5,'color','r')
hold off
box on
ylim(y_lim)
title('fit函数')

%% 2 nlinfit()函数 Levenberg-Marquardt %容易报错
modelfun = @(p,x)( p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5) );

OP2 = statset('nlinfit');
%opts.RobustWgtFun = 'bisquare';
p0 = 5*rand(1,5);
p = nlinfit(x,y,modelfun,p0,OP2);
%拟合
y2 = p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5);
subplot(3,2,2)
hold on
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
plot(x,y2,'-','linewidth',1.5,'color','r')
hold off
box on
ylim(y_lim)
title('nlinfit函数')

%% 3 lsqnonlin()函数 trust-region-reflective
modelfun = @(p)(p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5) -y) ;%这里和nlinfit()函数定义不一样
p0 = 5*rand(1,5);
OP3 = optimoptions(@lsqnonlin,'Algorithm','trust-region-reflective','MaxFunctionEvaluations',1e4,'MaxIterations',1e3);
[p,~] = lsqnonlin(modelfun,p0,[-2,0,2,0,0],[1,3,5,3,3],OP3);
y3 = p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5);
subplot(3,2,3)
hold on
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
plot(x,y3,'-','linewidth',1.5,'color','r')
hold off
box on
ylim(y_lim)
title('lsqnonlin函数')

%% 4 lsqcurvefit()函数 trust-region-reflective
modelfun = @(p,x)(p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5)) ;%这里和其它函数的定义也不一样
p0 = 5*rand(1,5);
OP4 = optimoptions('lsqcurvefit','Algorithm','trust-region-reflective','MaxFunctionEvaluations',1e4,'MaxIterations',1e3);
[p,~] = lsqcurvefit(modelfun,p0,x,y,[-2,0,2,0,0],[1,3,5,3,3],OP4);
y4 = p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5);
subplot(3,2,4)
hold on
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
plot(x,y4,'-','linewidth',1.5,'color','r')
hold off
box on
ylim(y_lim)
title('lsqcurvefit函数')

%% 5 fsolve()函数 %默认算法trust-region-dogleg
modelfun = @(p)(p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5) -y);
p0 = 5*rand(1,5);
OP5 = optimoptions('fsolve','Display','off');
p = fsolve(modelfun,p0,OP5);
y5 = p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5);
subplot(3,2,5)
hold on
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
plot(x,y5,'-','linewidth',1.5,'color','r')
hold off
box on
ylim(y_lim)
title('fsolve函数')

%% 6 粒子群PSO算法
fun = @(p) ( norm(p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5) -y) );%这里需要计算误差的平方和
OP6 = optimoptions('particleswarm','InertiaRange',[0.4,1.2],'SwarmSize',100);
[p,~,~,~]  = particleswarm(fun,5,[-5,-5,-5,-5],[5,5,5,5],OP6);%区间可以稍微放大一些，不怕
y6 = p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5);
subplot(3,2,6)
hold on
plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')
plot(x,y6,'-','linewidth',1.5,'color','r')
hold off
box on
ylim(y_lim)
title('PSO算法')

下图展示了PSO求解过程中逐渐收敛到全局最优解的过程。

3 高维非线性方程组拟合

3.1 一般形式高维方程或方程组的拟合

之前的文章中的数据具有一 一对应的特点，所以严格来讲并不是普遍的二维拟合。对于一些复杂的二维函数，比如椭圆，可能原本的拟合就会失效。

对于这种一般性质的方程或方程组，将原本输入方程整理为f(x,y,z,…)=0的形式。衡量拟合程度的优化函数，就直接取函数f(xi,yi,zi,…)的值即可。

下面演示最终的两个例子：

第一个是三维直线，采用两平面式描述。

Ax+By+Cz-1=0
Dx+Ey+Fz-1=0

总共2个方程，维度为3维，第一个方程有3个参数，第二个方程也有3个参数。离散点已知的条件下，三维直线的两平面表达式不唯一。

最终拟合效果如下：

第二个是二维椭圆，方程为：

x^2+Axy+By^2+Cx+Dy+E=0

总共1个方程，维度为2维。方程共有5个参数。

最终拟合效果如下：

clear
clc
close all
%% 演示1
%1 导入数据（这里用的是人工生成的数据）
%三维直线拟合，函数表示
%1.0*x+1.9*y+3.0*z=1;
%1.2*x-0.4*y-1.7*z=1;
x=0:0.04:1;
%求解出y和z
% [ 1.0, 3.0    [ y        [1.0
%  -0.4,-1.7] *   z] = 1 -  1.2] x
y=zeros(size(x));z=y;
for k=1:length(x)
    R=[1.9,3.0;-0.4,-1.7]\[1-1.0*x(k);1-1.2*x(k)];
    [y(k),z(k)]=Value(R);
end
rand_n=randperm(length(x));
%生成随机的初始输入数据
x1=x(rand_n)+0.05*randn(size(x));
y1=y(rand_n)+0.05*randn(size(x));
z1=z(rand_n)+0.05*randn(size(x));
%2 整理格式，将数据和要拟合的函数进行格式整理
%准备数据
XX={x1,y1,z1};
%准备函数
F1=@(p1,XX1) p1(1)*XX1{1}+p1(2)*XX1{2}+p1(3)*XX1{3}-1;
F2=@(p2,XX2) p2(1)*XX2{1}+p2(2)*XX2{2}+p2(3)*XX2{3}-1;
FF={F1,F2};
%3 生成最终优化函数，带入到优化方程中求解
fun=@(p) Dis(p,{3,3},XX,FF);%p参数，{3,3}第一个方程3个参数，第二个方程3个参数。XX离散点。FF函数表达式。
OP=optimoptions('particleswarm','FunctionTolerance',0);
[p,fval,~,~]=particleswarm(fun,6,[-5,-5,-5,-5,-5,-5],[5,5,5,5,5,5],OP);
%4 对比拟合效果
figure()
x2=0:0.01:1;
y2=zeros(size(x2));
z2=y2;
for k=1:length(x2)
    R=[p(2),p(3);p(5),p(6)]\[1-p(1)*x2(k);1-p(4)*x2(k)];
    [y2(k),z2(k)]=Value(R);
end
%系数可能不同。因为直线的两平面表示不唯一
hold on
plot3(x2,y2,z2)
plot3(x1,y1,z1,'*');
hold off
view(3)

%% 演示2
%1 导入数据（这里用的是人工生成的数据）
%二维椭圆拟合
th=0:0.15:2*pi;
a=3.2;%椭圆轴1
b=4.8;%椭圆轴2
x0=-1.9;
y0=-4.1;
beta=1.1;%椭圆旋转角度
%绘制椭圆
x=a*cos(th);
y=b*sin(th);
%旋转beta角度
x_r=x*cos(beta)-y*sin(beta);
y_r=x*sin(beta)+y*cos(beta);
rand_n=randperm(length(x));
%生成随机的初始输入数据
x1=x_r(rand_n)+0.1*randn(size(x));
y1=y_r(rand_n)+0.1*randn(size(x));
%2 整理格式，将数据和要拟合的函数进行格式整理
%准备数据
XX={x1,y1};
%准备函数
F1=@(p1,XX1) XX1{1}.*XX1{1}+p1(1)*XX1{1}.*XX1{2}+p1(2)*XX1{2}.*XX1{2}+p1(3)*XX1{1}+p1(4)*XX1{2}+p1(5);
FF={F1};
%3 生成最终优化函数，带入到优化方程中求解
fun=@(p) Dis(p,{5},XX,FF);
OP=optimoptions('particleswarm','FunctionTolerance',0);
[p,fval,~,~]=particleswarm(fun,5,[-20,-20,-20,-20,-20],[20,20,20,20,20],OP);
%4 对比拟合效果
figure()
hold on
plot(x1,y1,'*')
Fun_Plot=@(xp,yp) xp.*xp+p(1)*xp.*yp+p(2)*yp.*yp+p(3)*xp+p(4)*yp+p(5);
fimplicit(Fun_Plot,[-6 6 -6 6],'LineWidth',1)
hold off

%% 用到的函数
function varargout=Value(f)
%多元素赋值，例子：
%[a,b,c]=Value([1,2,3]);%多变量赋值
%[xy(1),xy(2),t]=Value([2,5,3]);%复合赋值
%[b,a]=Value([a,b]);%元素交换
%来源：hyhhhyh21，matlab爱好者
N=numel(f);
varargout=cell(1,N);
if nargout~=N
    error('输入输出数量不一致')
end
for k=1:N
    varargout{k}=f(k);
end
end

function Sum_N=Dis(p,p_num,XX,FF)
%用函数值评价拟合程度
%输入：要拟合的参数p
%输入：p_num cell格式，每个方程的参数数量
%输入：XX 数据，以cell形式储存
%输入：FF 拟合函数，以cell形式储存
N_F=numel(FF);%要联立的方程数量
L=length(XX{1});%离散点的数量
N_L=numel(XX);%离散点维度
Sum_N=0;
XXm=cell(1,N_L);
%直接计算函数的值
p_n=1;%参数的索引
for k=1:N_F
    %对每一个方程进行计算
    FF_k=FF{k};%方程
    F_p=p_num{k};%该方程用到的参数数量
    for m=1:L
        for n=1:N_L
            XXm{n}=XX{n}(m);
        end
        Distance=FF_k(p(p_n:(p_n+F_p-1)),XXm);
        Sum_N=Sum_N+Distance^2;
    end
    p_n=p_n+F_p;%更新函数索引
end
end

3.2 一般形式参数方程的拟合

高维参数方程的拟合比较困难。因为原本方程中x、y、z的坐标点都是已知的。但是参数方程中，x、y、z的坐标点已知，但是与参数u、v往往未知。所以相当于原本的方程中引入了额外的未知信息。

但是基本思路和普通方程是一样的。离散点距离假想方程的距离，需要用该点距方程上每个点的距离中的最小值，来近似判断。

依然是展示两个例子。

第一个是计算三维李萨如图形。参数方程为：

x=sin(A*u)
y=cos(B*u)
z=sin(C*u)

方程为三维参数方程，只有一个参数u。第一个方程有1个未知量A，第二个方程有1个未知量B，第三方程有1个未知量C。

最终拟合效果如下。由于李萨如图形中，只要频率的比例固定，图案就会固定。所以最终ABC的值不唯一，但是它们的比例肯定唯一。

第二个例子是一个三维旋转曲面。参数方程为：

x= A*u.*sin(v+B)
y=-C*u.*cos(v+D)
z=v

方程为三维参数方程，有2个参数u、v。第一个方程有2个未知量AB，第二个方程有2个未知量CD，第三方程有0个未知量。

最终拟合效果如下：

这两个例子的演示代码如下。这里参数方程的Dis_P()由于频繁的计算点与点之间的距离，所以运算速度比第一章单纯函数的Dis()较慢。

clear
clc
close all
%% 演示1
%三维李萨如图形拟合
%1 导入数据（这里用的是人工生成的数据）
t=0:0.01:4*pi;
x=sin(4*t);
y=cos(5*t);
z=sin(6*t);

rand_n=randperm(length(t));
x1=x(rand_n)+0.02*randn(size(t));
y1=y(rand_n)+0.02*randn(size(t));
z1=z(rand_n)+0.02*randn(size(t));
%2 整理格式，将数据和要拟合的函数进行格式整理
%输入参数方程
XX={x1,y1,z1};%离散点输入
F1=@(p1,uu1) sin(p1(1)*uu1{1});
F2=@(p2,uu1) cos(p2(1)*uu1{1});
F3=@(p3,uu1) sin(p3(1)*uu1{1});
FF={F1,F2,F3};%方程输入
u1=0:0.05:13;%设置参数的最大最小范围以及精度，能达到绘图精度即可
uu={u1};%参数输入
%3 生成最终优化函数，带入到优化方程中求解
fun=@(p) Dis_P(p,{1,1,1},uu,XX,FF);%使得DisP函数输出的Sum_N最小
%p参数，{1,1,1}代表有3个方程，每个方程的代求参数p个数为1。uu为参数输入。XX为离散点输入。FF为方程输入。
OP=optimoptions('particleswarm','FunctionTolerance',0,'InertiaRange',[0.3,1.2],'MaxStallIterations',200);
[pp,fval,~,~]=particleswarm(fun,3,[1,1,1],[10,10,10],OP);
%4 对比拟合效果
figure()
hold on
tt=0:0.01:4*pi;
%pp=pp/pp(1)*4;%这里不一定必须是4,5,6，只需要比例为4:5:6就行
[a2,b2,c2]=Value(pp);
x2=sin(a2*tt);
y2=cos(b2*tt);
z2=sin(c2*tt);

plot3(x2,y2,z2);
plot3(x1,y1,z1,'*');
hold off
view(3)

%% 演示2
%三维螺旋面拟合
%1 导入数据（这里用的是人工生成的数据）
F1=@(p1,uu1) p1(1).*uu1{1}.*sin(uu1{2}+p1(2));
F2=@(p2,uu1) -p2(1).*uu1{1}.*cos(uu1{2}+p2(2));
F3=@(p3,uu1) uu1{2};

u_rand=rand_AB([-4,4],100,1);
v_rand=rand_AB([-5,5],100,1);
x=F1([2,0.1],{u_rand,v_rand});
y=F2([1,0.1],{u_rand,v_rand});
z=F3([],{u_rand,v_rand});

rand_n=randperm(length(x));
x1=x(rand_n)+0.01*randn(size(x));
y1=y(rand_n)+0.01*randn(size(x));
z1=z(rand_n)+0.01*randn(size(x));

%2 整理格式，将数据和要拟合的函数进行格式整理
%输入参数方程
XX={x1,y1,z1};%离散点输入
FF={F1,F2,F3};%方程输入
u1=-4:0.1:4;%设置参数的最大最小范围以及精度，能达到绘图精度即可
v1=-5:0.1:5;%设置参数的最大最小范围以及精度，能达到绘图精度即可
uu={u1,v1};%参数输入
%3 生成最终优化函数，带入到优化方程中求解
fun=@(p) Dis_P(p,{2,2,0},uu,XX,FF);%使得DisP函数输出的Sum_N最小
OP=optimoptions('particleswarm','FunctionTolerance',0,'InertiaRange',[0.3,1.2],'MaxStallIterations',200);
[pp,fval,~,~]=particleswarm(fun,4,[0.1,0,0.1,0],[10,2*pi,10,2*pi],OP);

%4 对比拟合效果
figure()
hold on
plot3(x1,y1,z1,'*');
funx = @(u,v) pp(1)*u.*sin(v+pp(2));
funy = @(u,v) -pp(3)*u.*cos(v+pp(4));
funz = @(u,v) v;
fsurf(funx,funy,funz,[-4 4 -5 5],'LineStyle','none','FaceAlpha',0.5)
xlim([-8,8]);
ylim([-8,8]);
zlim([-5,5]);
colormap(hsv)
camlight
plot3([0,8],[0,0],[0,0],'linewidth',2,'color','k')
plot3([0,0],[0,8],[0,0],'linewidth',2,'color','k')
plot3([0,0],[0,0],[0,5],'linewidth',2,'color','k')
hold off
view(3)


function Sum_N=Dis_P(p,p_num,uu,XX,FF)
%用距离曲线的距离评价拟合程度（参数方程）
%输入：p 要拟合的参数
%输入：p_num 数组，每个方程的参数数量
%输入：uu 参数方程中的参数，以cell形式储存
%输入：XX 数据，以cell形式储存
%输入：FF 拟合函数，以cell形式储存

N_F=numel(FF);%要联立的方程数量
L=length(XX{1});%离散点的数量
N_L=numel(XX);%拟合参数p的数量
N_u=numel(uu);%参数方程中参数的数量
if N_u>1
    uu_new=ndgrid_h(uu{:});
    uu=uu_new;
end
%循环每个点，求到直线的距离
%在假定参数p的情况下，计算假定函数
Point_NF=cell(N_F,1);
p_n=1;%参数的索引
for k=1:N_F
    F_p=p_num{k};%该方程用到的参数数量
    Point_NF{k}=FF{k}(p(p_n:(p_n+F_p-1)),uu);%计算假定函数各个点坐标
    p_n=p_n+F_p;%更新函数索引
end
Sum_N=0;
for k=1:L
    %分别求每个假定函数的点，与真实离散点之间距离的平方和
    Point_distance2=0;
    for m=1:N_F
        %读取真实点坐标
        Point_distance2=Point_distance2+(Point_NF{m}-XX{m}(k)).^2;
    end
    Min_distance2=min(Point_distance2);%求出最小距离，即为点与假定函数之间的距离
    Sum_N=Sum_N+Min_distance2;
end
end


function varargout=Value(f)
%多元素赋值，例子：
%[a,b,c]=Value([1,2,3]);%多变量赋值
%[xy(1),xy(2),t]=Value([2,5,3]);%复合赋值
%[b,a]=Value([a,b]);%元素交换
%来源：hyhhhyh21，matlab爱好者
N=numel(f);
varargout=cell(1,N);
if nargout~=N
    error('输入输出数量不一致')
end
for k=1:N
    varargout{k}=f(k);
end
end

function X=rand_AB(AB,varargin)
%生成区间[A,B]之间的随机分布
%除了AB之外，其余输入与rand相同
[A,B]=Value(AB);
X=rand(varargin{1:end});
X=A+X*(B-A);
end

function S=ndgrid_h(varargin)
%来源于matlab自带的源代码。
%用法和ndgrid用法一样，但是将输出更改为cell
N=nargin;
S=cell(1,N);
if N==1
    S{1}=varargin;
else 
    j = 1:N;
    siz = cellfun(@numel,varargin);
    if N == 2 % Optimized Case for 2 dimensions
        x = full(varargin{1}(:));
        y = full(varargin{2}(:)).';
        S{1} = repmat(x,size(y));
        S{2} = repmat(y,size(x));
    else
        for i=1:N
            x = full(varargin{j(i)});
            s = ones(1,N);
            s(i) = numel(x);
            x = reshape(x,s);
            s = siz;
            s(i) = 1;
            S{i} = repmat(x,s);
        end
    end
end
S2=cell(1,N);
for k=1:N
    S2{k}=S{k}(:);
end
S=S2;
end

主要函数就是Dis和Dis_P，准备工作就是把方程和离散点整理成可以输入的形式。优化用到的函数就是PSO（particleswarm），需要更改未知参数数量和范围就可以。

3.3 补充

这一部分的拟合优度或者置信区间就没办法拿出来说了，毕竟有试凑的嫌疑。适合单纯的验证。

另外这里和最小二乘求出来的结果会有所不同。这主要是定义的问题。其中最小二乘指的是距离y方向上最小的二乘距离。而这一章节中定义的最小二乘，是指的点到拟合曲线距离的最小二乘（有点类似于主成分分析）。虽然一般情况下两者并不会有太大差别，但是如果有误差的话，还请注意这一点，

如下图，这里是一个椭圆分布的离散点。

如果将方程的形式定义为y=ax+b，要求距离y最小，则最终结果为红色的线。如果将方程定义为ax+by+c=0，要求距离直线的距离最小，则最终拟合结果为黄色的线。这里无所谓对错，只是要求的最小定义不同。

单独在后面补充了这么一个章节，希望在应用中注意。

上面的图，绘图代码如下：

%构建原始数据
t1=rand(3000,1);t2=rand(3000,1);
x=2*sqrt(t2).*cos(2*pi*t1);
y=sqrt(t2).*sin(2*pi*t1);
XY=[x,y];
XY2=XY*[1,1;-1,1];%变形
x2=XY2(:,1);y2=XY2(:,2);
x=x2;y=y2;
%% 演示1
%线性最小二乘拟合，以|y-yi|^2作为衡量指标
yn1=x;
yn2=ones(size(x));
X=[yn1,yn2];
%拟合，得到系数
Pn=X\y;
yn=Pn(1)*yn1+Pn(2)*yn2;
%% 演示2
%二维直线非线性拟合，以|ax+by+c|^2作为衡量指标
%准备数据
XX={x,y};
%准备函数
F1=@(p1,XX1) p1(1)*XX1{1}-p1(2)*XX1{2}+p1(3);%ax-by+c=0
FF={F1};
%3 生成最终优化函数，带入到优化方程中求解
fun=@(p) Dis(p,{3},XX,FF);%p参数，{2}第一个方程2个参数。XX离散点。FF函数表达式。
% Sum_N=Dis([1,0],{2},XX,FF)
OP=optimoptions('particleswarm','FunctionTolerance',0);
[p,fval,~,~]=particleswarm(fun,3,[1,1,-1],[5,5,1],OP);
%% 对比
figure()
hold on
plot(x,y,'.')
plot(x,yn,'linewidth',4)
plot(x,(p(1)*x+p(3))/p(2),'linewidth',4)
hold off
legend({'原始数据','最小二乘','非线性拟合'})

参考文献

信赖域法 https://zhuanlan.zhihu.com/p/205555114