行列式公式

行列式
定理1：
n*n矩阵A的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第i行展开用
Cij = (-1)i+j det Aij 式给出的余因子写法可写成：
det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 +…+ainCin
按第j列的余因子展开式为：
detA = a1jC1j + a2jC2j +… + anjCnj
(i,j)位置的余因子中加号或减号取决于aij在矩阵中的位置，而与aij本身的符号无关。因子(-1)i+j 可确定符号正负

定理2
若A为三角阵，则detA等于A的对角线上元素的乘积。

定理3 （行变换）
令A是一个方阵
a 若A的某一行的倍数加到另一行得矩阵B，则detB = detA
b 若A的两行互换得矩阵B，则detB = -detA
c 若A的某行乘以k倍得到矩阵B，则detB = kdetA

定理4
方阵A是可逆的，当且仅当detA不等于0
一个有用的推论是：如果detA=0,则线性相关

公式1：
detA = (-1)n(U的主元乘积） 当A可逆
0 当A不可逆

n*n的行列式利用行变换展开大约需要2n3/3次运算

定理5：
若A为n*n矩阵，则detAT =detA

定理6：
若A和B均为n*n矩阵，则detAB = (detA)(detB)
(ps det(A+B) 不等于 detA+ detB）

行列式的一个线性性质：
若A为n*n的矩阵，可以将detA看成是A中n个列向量的函数。
A = [a1 a2 a3…x… an]
则有Rn到R的变换T为：
T（x） = det[a1 a2 … x… an]
则有：
T（cx） = cT（x）
T(u+v) = T(u) + T(v)