负数补码表示范围以及规格化数

以小数为例

原码形式下

1. 想象出一个数轴

------------------------0------------------>

2. 将0用原码表示,设机器字长为5，一位符号位,放在数轴上

----------------1.0000------0.0000---------->

3. 不难想象从+0向正半轴的表示范围是0.0000 ~ 0.1111即0~1-2^-4

• 从-0往负半轴也要有这么大的表示范围,即-（1-2^-4）~ 0

4. 故原码小数的表示范围为-（1-2^-4）~ 1-2^-4,但此时注意负0和正0之间有“一个单位的空间”，此单位长度为0.0001，即2^-4（机器无法表示所有连续的小数，故其储存的仍旧是离散的，根据位数的不同，其精确度不一样）

补码形式下

5. +0和-0合二为一，那整个数轴就多出一个单位，那这个单位用来干什么呢？
6. 这个多出来的单位长度为负半轴扩展了表示范围

1.0000--.....---1.0001---0.0000---0.0001---->

7. 原本用来表示-0的1.0000被拿到负半轴最左端，它表示什么数呢？
8. |-（1-2^-4）|+|-2^-4|=1 ,1.0000用来表示-1，负半轴可以延伸到整整1的位置，故补码形式下表示范围是 -1 ~ 1-2^-4
   由此不难得到其他形式的取值范围

补码规格化下的负数取值范围

规格化：规格化又叫做规格化数是一种表示浮点数的规格化的表示方法，还可以通过修改阶码并同时移动尾数的方法使其满足这种规范。

什么意思呢？
就是通过移动尾数，修改阶码，把尾数移动，要想保证真值不变，必定增减阶码，那么把尾数弄成什么样子呢？
解释如下：

对于规格化浮点数小数点后第一个值是固定的（正数：1，负数：原码1，补码0），所以该位往往缺省，称为隐藏位。
规格化要求尾数：
1/R<=|M|<1
R=2时： 1/2<=|M|<1 即1/2<=|M|<1
将一个浮点数转换为规格化的过程，称为浮点数规格化。

就是说正数要变成0.1XXXXX，负数原码要变成1.1XXXXX，补码就是1.0XXXXXX
问题又来了？
补码规格化后负数的取值范围是怎么样，为什么非得1.0XXXXX的形式？不能1.1XXXXX? 后文解答

现在从最大负数开始找起

这是我弄不懂的地方，偶然间看到了前辈的推理，让我好好思考了一番，以下内容多为转述，这里附上前辈的博客

参考

0. 如果不考虑规格化，最大负数必定为-0.0001，原码1.0001，补码1.1111，显然不符合1.0XXXX的形式
1. 根据1/2<=|M|<1,不难理解正数要为0.1XXXX的格式，小数点后一位为1，转化为十进制的1/2.
2. 现在来探索规格化负数补码的范围

• 继续往后取，最大负数取-0.0010，原码1.0010，补码1.1110，仍旧不符合1.0XXXXX形式
• 取-0.0011，原码1.0011，补码1.1101，不符合

3. 思考：如果使补码形式为1.0XXXX，那么原码形式为如果为1.0XXXX取反+1后仍为1.0XXX的只有1.0000，显然为0不为负数，所以原码应该为1.1XXXX形式

• 取-0.1000，原码1.1000，补码1.1000，这时刚好为-1/2，符合尾数规格化的范围，但补码形式不符合
• 取-0.1001，原码1.1001，补码1.0111，符合，这是负数补码规格化的最大值，形式为1.01111…11111

4. 思考：规格化的目的说明如下

为了提高精度需要使尾数的有效位数尽可能占满可用的位数。这种措施称为浮点数的规格化。

• 为什么尾数范围规定在1/2<=|M|<1的范围就可以使有效位数尽可能的占满可用的位数呢？
• 这种移动尾数，增减阶码的操作是为了满足上述目的？

5. 再思考：小数点不动，将尾数左移，每左移一位，阶码减一，保持真值不变，左移到什么程度，就不能再移动? 不能再移动表示->如果再移动就要损失有效数字，故遇到1时规格化停止，原码形式为0.1XXXX，所以1/2<=|尾数|.

结论：负数补码规格化最大负数形式为1.0111…111,原码为1.1000…001,最小负数自然是1.0000000…00(-1)
故范围为：-1~ -（1/2+2^-n）

最后一问：当取-0.1000时，原码1.1000，补码1.1000，这时刚好为-1/2，符合尾数规格化的范围，为什么不从这里开始取值呢？
答：为了机器判断方便，往往不把-1/2列入规格化的数，因此，机器只要判断运算结果的尾数最高位（数符）与尾数次高位（第一有效位）是否相同，便可以判断是否是规格化的数。

有不对的地方还请大家指正吖