平衡二叉树详解 通俗易懂

平衡二叉树详解 通俗易懂平衡二叉树(AVL)阅读之前请先了解二叉搜索树平衡二叉树定义:任意节点的子树的高度差都小于等于11.为什么使用「平衡二叉树」二叉树能提高查询的效率O(logn),但是当你插入{1,2,3,4,5,6}这种数据的时候,你的二叉树就像一个「链表」一样,搜索效率变为O(n)于是在1962年,一个姓AV的大佬(G.M.Adelson-Velsky)和一个姓L的大佬(EvgeniiLandis)提出「平衡二叉树」(AVL)。于是插入{1,2,3,4,5,6}

平衡二叉树(AVL)

阅读之前请先了解 二叉搜索树

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平衡二叉树定义:任意节点的子树的高度差都小于等于 1

1. 为什么使用「平衡二叉树」

二叉树能提高查询的效率 O(logn),但是当你插入 {1,2,3,4,5,6} 这种数据的时候,你的二叉树就像一个「链表」一样,搜索效率变为 O(n)

image-20210110143451761

于是在 1962 年,一个姓 AV 的大佬(G. M. Adelson-Velsky) 和一个姓 L 的大佬( Evgenii Landis)提出「平衡二叉树」(AVL) 。

于是插入 {1,2,3,4,5,6} 这种数据结果如下图所示:

image-20210110143538936

2. 判断「平衡二叉树」

判断「平衡二叉树」的 2 个条件:

  • 1. 是「二叉排序树」
  • 2. 任何一个节点的左子树或者右子树都是「平衡二叉树」(左右高度差小于等于 1)

(1)下图不是「平衡二叉树」因为它不是「二叉排序树」违反第 1 条件

image-20210110143603854

(2)下图不是「平衡二叉树」因为有节点子树高度差大于 1 违法第 2 条件

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(3)下图是「平衡二叉树」因为符合 1、2 条件

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3. 相关概念

3.1 平衡因子 BF

定义:左子树和右子树高度差

计算:左子树高度 – 右子树高度的值

别名:简称 BF(Balance Factor 而不是 Boy Friend)

一般来说 BF 的绝对值大于 1,,平衡树二叉树就失衡,需要「旋转」纠正

3.2 最小不平衡子树

距离插入节点最近的,并且 BF 的绝对值大于 1 的节点为根节点的子树。

「旋转」纠正只需要纠正「最小不平衡子树」即可

例子如下图所示:

image-20210106115452795

4. 二种旋转方式

2 种「旋转」方式:

  1. 左旋
    • 旧根节点为新根节点的左子树
    • 新根节点的左子树(如果存在)为旧根节点的右子树
  2. 右旋:
    • 旧根节点为新根节点的右子树
    • 新根节点的右子树(如果存在)为旧根节点的左子树

4 种「旋转」纠正类型:

  1. LL 型:插入左孩子的左子树,右旋
  2. RR 型:插入右孩子的右子树,左旋
  3. LR 型:插入左孩子的右子树,先左旋,再右旋
  4. RL 型:插入右孩子的左子树,先右旋,再左旋

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4.1 LL 型失衡「右旋」

第三个节点「1」插入的 时候,BF(3) = 2,BF(2) = 1 LL 型失衡,右旋,根节点顺时针旋转

(1)最小不平衡子树「右旋」

右旋

  • 旧根节点(节点 3)为新根节点(节点 2)的右子树
  • 新根节点的 右子树(如果存在)为旧根节点的左子树

LL右旋转 (2)

4.2 RR 型失衡「左旋」

第三个节点「3」插入的 时候,BF(1)=-2 BF(2)=-1RR 型失衡,左旋,根节点逆时针旋转

(1)最小不平衡子树左旋

左旋

  • 旧根节点(节点 1)为新根节点(节点 2)的左子树
  • 新根节点的左子树(如果存在)为旧根节点的右子树

LL右旋转 (2)

4.3 LR 型

第三个节点「3」插入的 时候,BF(3)=2 BF(1)=-1 LR 型失衡,先「左旋」再「右旋」

(1)最小不平衡子树左子树 {2,1} 先左旋

左旋

  • 旧根节点(节点 1)为新根节点(节点 2)的左子树
  • 新根节点的左子树(如果存在)为旧根节点的右子树

LR_L

(2)最小不平衡子树 {3,2,1} 再右旋

右旋

  • 旧根节点(节点 3)为新根节点(节点 2)的右子树
  • 新根节点的 右子树(如果存在)为旧根节点的左子树

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4.4 RL 型

第三个节点「1」插入的 时候,BF(1)=-2 BF(3)=1 RL 型失衡,先「右旋」再「左旋」

(1)最小不平衡子树根节点右子树{3,2}先右旋

右旋

  • 旧根节点(节点 3)为新根节点(节点 2)的右子树
  • 新根节点的 右子树(如果存在)为旧根节点的左子树

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(2)最小不平衡子树 {1,2,3} 再左旋(L)

左旋

  • 旧根节点(节点 1)为新根节点(节点 2)的左子树
  • 新根节点的左子树(如果存在)为旧根节点的右子树

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5. 实例

接下来我们以 {3,2,1,4,5,6,7,10,9,8} 为实例练习刚刚的 4 种插入方式

(1)依次插入 3、2、1 插入第三个点 1 的时候 BF(3)=2 BF(2)=1LL 型失衡

对最小不平衡树 {3,2,1}进行「右旋」

右旋:

  • 旧根节点(节点 3)为新根节点(节点 2)的右子树
  • 新根节点(节点 2)的右子树(这里没有右子树)为旧根节点的左子树

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(2)依次插入 4 ,5 插入 5 点的时候 BF(3) = -2 BF(4)=-1RR 型失衡

对最小不平衡树 {3,4,5} 进行「左旋」

左旋:

  • 旧根节点(节点 3)为新根节点(节点 4)的左子树
  • 新根节点(节点 4)的左子树(这里没有左子树)为旧根节点的右子树

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(3)插入 4 ,5 插入 5 点的时候 BF(2)=-2 BF(4)=-1RR 型失衡 对最小不平衡树进行「左旋」

左旋:

  • 旧根节点(节点 2)为新根节点(节点 4)的左子树
  • 新根节点(节点 4)的 左子树(节点 3)为旧根节点的右子树

image-20210110104051075

新根节点(节点 4)的左子树(节点 3)为旧根节点的右子树

image-20210106155455451

(4)插入 7 节点的时候 BF(5)=-2, BF(6)=-1RR 型失衡,对最小不平衡树 进行「左旋」

左旋:

  • 旧根节点(节点 5)为新根节点(节点 6)的左子树
  • 新根节点的左子树(这里没有)为旧根节点的右子树

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(5)依次插入 10 ,9 。插入 9 点的时候 BF(10) = 1,BF(7) = -2RL 型失衡,对先「右旋」再「左旋」

右子树先「右旋」

最小不平衡子树的右子树 {10,9} 先右旋:

  • 旧根节点(节点 10)为新根节点(节点 9)的右子树
  • 新根节点(节点 9)的右子树(这里没有右子树)为旧根节点的左子树

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最小不平衡子树再左旋:

  • 旧根节点(节点 7)为新根节点(节点 9)的左子树
  • 新根节点(节点 9)的左子树(这里没有左子树)为旧根节点的右子树

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(6)最后插入节点 8 ,BF(6)=-2 BF(9)=1RL 型失衡,先「右旋」再「左旋」

最小不平衡子树的右子树 {9,7,10,8} 先「右旋」

右旋:

  • 旧根节点(节点 9 {9,10})为新根节点(节点 7)的右子树
  • 新根节点(节点 7)的右子树(这里是 节点 8)为旧根节点(节点 9)的左子树

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最小不平衡子树 {6,5,7,9,8,10} 再「左旋」

左旋:

  • 旧根节点(节点 6 {6,5} )为新根节点(节点 7)的左子树
  • 新根节点的左子树(这里没有)为旧根节点的右子树

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左旋结束

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程序结束

6.代码实现

6.1 定义节点

public class AVLNode { 
   
    /** 数据 **/
    public int data;
    /** 相对高度 **/
    public int height;
    /** 父节点 **/
    public AVLNode parent;
    /** 左子树 **/
    public AVLNode left;
    /** 右子树 **/
    public AVLNode right;
    public AVLNode(int data) { 
   
        this.data = data;
        this.height = 1;
    }
}

6.2 计算高度

节点高度等于左子树和右子树最大高度 + 1

/** 通过子树高度 计算高度 **/
private int calcHeight(AVLNode root) { 
   
    if (root.left == null && root.right == null) { 
   
        return 1;
    }
    else if (root.right == null) { 
   
        return root.left.height + 1;
    } else if (root.left == null) { 
   
        return root.right.height + 1;
    }else { 
   
        return root.left.height > root.right.height ? root.left.height + 1 : root.right.height + 1;
    }
}

6.3 计算 BF

BF(平衡因子)的值为:左子树高度 – 右子树高度

private int calcBF(AVLNode root) { 
   
    if (root == null){ 
   
        return 0;
    }
    else if (root.left == null && root.right == null) { 
   
        return 0;
    }
    else if (root.right == null) { 
   
        return root.left.height ;
    } else if (root.left == null) { 
   
        return - root.right.height;
    }else { 
   
        return root.left.height - root.right.height;
    }
}

6.4 旋转

2 种「旋转」方式:

  1. 左旋
    • 旧根节点为新根节点的左子树
    • 新根节点的左子树(如果存在)为旧根节点的右子树
  2. 右旋:
    • 旧根节点为新根节点的右子树
    • 新根节点的右子树(如果存在)为旧根节点的左子树

重点理解:旋转之后通过需要刷新高度

高度变化只有: oldRoot 和 newRoot

但是它们子树的高度是不变的(这很关键)

我们可以通过它们 子树的高度计算他们的高度

使用不变的因数计算变化的因素是一个很好的思维

public AVLNode leftRotate(AVLNode root) { 
   
    AVLNode oldRoot = root;
    AVLNode newRoot = root.right;
    AVLNode parent = root.parent;
    //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
    if (null != parent ) { 
   
        if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) { 
   
            parent.left = newRoot;
        }else  { 
   
            parent.right = newRoot;
        }
    }
    newRoot.parent = parent;
    //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的左子树 给 oldRoot 的右子树)
    oldRoot.right = newRoot.left;
    if (newRoot.left != null) { 
   
        newRoot.left.parent = oldRoot;
    }
    //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
    newRoot.left = oldRoot;
    oldRoot.parent = newRoot;
    //刷新高度
    oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
    newRoot.height = calcHeight(newRoot);
    return newRoot;
}


public AVLNode rightRotate(AVLNode root) { 
   
    AVLNode oldRoot = root;
    AVLNode newRoot = root.left;
    AVLNode parent = root.parent;
    //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
    if (null != parent ) { 
   
        if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) { 
   
            parent.left = newRoot;
        }else { 
   
            parent.right = newRoot;
        }
    }
    newRoot.parent = parent;
    //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的右子树 给 oldRoot 的左子树)
    oldRoot.left = newRoot.right;
    if (newRoot.right != null) { 
   
        newRoot.right.parent = oldRoot;
    }
    //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
    newRoot.right = oldRoot;
    oldRoot.parent = newRoot;
    //刷新高度
    oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
    newRoot.height = calcHeight(newRoot);
    return newRoot;
}

6.5 插入(总代码)

插入操作

  • 递归插入新节点
  • 刷新高度
  • 旋转并再次刷新高度
public class ALVTree { 
   
    AVLNode root;
    public void insert(int data) { 
   
        if (null == this.root) { 
   
            this.root = new AVLNode(data);
            return;
        }
        this.root = insert(this.root, data);
    }
    public AVLNode insert(AVLNode root, int data) { 
   
        //插入左子树
        if (data < root.data) { 
   
            if (null == root.left) { 
   
                root.left = new AVLNode(data);
                root.left.parent = root;
            }else { 
   
                insert(root.left,data);
            }
        }
        //插入右子树
        else if (data > root.data) { 
   
            if (null == root.right) { 
   
                root.right = new AVLNode(data);
                root.right.parent = root;
            } else { 
   
                insert(root.right,data);
            }
        }
        //刷新高度
        root.height = calcHeight(root);
        //旋转
        //1. LL 型 右旋转
        if (calcBF(root) == 2){ 
   
            //2. LR 型 先左旋转
            if (calcBF(root.left) == -1) { 
   
                root.left = leftRotate(root.left);
            }
            root = rightRotate(root);
        }
        //3. RR型 左旋转
        if (calcBF(root) == -2){ 
   
            //4. RL 型 先右旋转
            if (calcBF(root.right)== 1) { 
   
                root.right = rightRotate(root.right);
            }
            root = leftRotate(root);
        }

        return root;
    }
    public AVLNode leftRotate(AVLNode root) { 
   
        AVLNode oldRoot = root;
        AVLNode newRoot = root.right;
        AVLNode parent = root.parent;
        //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
        if (null != parent ) { 
   
            if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) { 
   
                parent.left = newRoot;
            }else  { 
   
                parent.right = newRoot;
            }
        }
        newRoot.parent = parent;
        //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的左子树 给 oldRoot 的右子树)
        oldRoot.right = newRoot.left;
        if (newRoot.left != null) { 
   
            newRoot.left.parent = oldRoot;
        }
        //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
        newRoot.left = oldRoot;
        oldRoot.parent = newRoot;
        //刷新高度
        oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
        newRoot.height = calcHeight(newRoot);
        return newRoot;
    }


    public AVLNode rightRotate(AVLNode root) { 
   
        AVLNode oldRoot = root;
        AVLNode newRoot = root.left;
        AVLNode parent = root.parent;
        //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
        if (null != parent ) { 
   
            if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) { 
   
                parent.left = newRoot;
            }else { 
   
                parent.right = newRoot;
            }
        }
        newRoot.parent = parent;
        //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的右子树 给 oldRoot 的左子树)
        oldRoot.left = newRoot.right;
        if (newRoot.right != null) { 
   
            newRoot.right.parent = oldRoot;
        }
        //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
        newRoot.right = oldRoot;
        oldRoot.parent = newRoot;
        //刷新高度
        oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
        newRoot.height = calcHeight(newRoot);
        return newRoot;
    }
    /** 通过子树高度 计算高度 **/
    private int calcHeight(AVLNode root) { 
   
        if (root.left == null && root.right == null) { 
   
            return 1;
        }
        else if (root.right == null) { 
   
            return root.left.height + 1;
        } else if (root.left == null) { 
   
            return root.right.height + 1;
        }else { 
   
            return root.left.height > root.right.height ? root.left.height + 1 : root.right.height + 1;
        }
    }
    private int calcBF(AVLNode root) { 
   
        if (root == null){ 
   
            return 0;
        }
        else if (root.left == null && root.right == null) { 
   
            return 0;
        }
        else if (root.right == null) { 
   
            return root.left.height ;
        } else if (root.left == null) { 
   
            return - root.right.height;
        }else { 
   
            return root.left.height - root.right.height;
        }
    }
}

测试

public static void main(String[] args) { 
   
    ALVTree tree = new ALVTree();
    tree.insert(3);
    tree.insert(2);
    tree.insert(1);
    tree.insert(4);
    tree.insert(5);
    tree.insert(6);
    tree.insert(7);
    tree.insert(10);
    tree.insert(9);
    tree.insert(8);
    //遍历输出
    innerTraverse(tree.root);
}
private static void innerTraverse(AVLNode root) { 
   
    if (root == null) { 
   
        return;
    }
    innerTraverse(root.left);
    System.out.println(root.data + " height:"+root.height);
    innerTraverse(root.right);
}

输出

1 height:1
2 height:2
3 height:1
4 height:4
5 height:1
6 height:2
7 height:3
8 height:1
9 height:2
10 height:1

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。
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