【线性代数(2)】n阶行列式三种定义

【线性代数(2)】n阶行列式三种定义n阶行列式1.回顾2.n阶行列式2.1第一种定义2.2表示方式2.3举个例子2.4三角行列式1.回顾先回顾一下之前的三阶行列式,看一下其中的规律∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11∗a22∗a33+a12∗a23∗a31+a13∗a21∗a32−a13∗a22∗a31−a12∗a21∗a33−a11∗a23∗a32\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a

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1. 回顾

先回顾一下之前的三阶行列式,看一下其中的规律
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31} +a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{13}*a_{22}*a_{31}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{11}*a_{23}*a_{32} a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32

观察一下最后的运算结果,也就得出了三阶行列式展开的定义

  • 行标:取标准排列(全部都是123)
  • 列标:取排列的所有可能,从不同行不同列中取出三个元素相乘,符号是由列标排列的奇偶性决定的,详情如下
运算符号 元素下标 逆序数
  • |123 |0|
  • |231|2|
  • | 312|2|
  • |321 |3|
  • |213|1|
  • | 132|1|

2. n阶行列式

2.1 第一种定义(按行展开)

三阶行列式展开定义的推广,也就是行标取标准排列,列标取排列的所有可能,从不同行不同列中取出n个元素相乘,符号是由列标排列的奇偶性决定的,共有 n ! n! n! 项,公式如下:

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a 33 ∣ = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) N ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & … &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{j_{1}j_{2}…j_{n}}{(-1)}^{N(j_{1}j_{2}…j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}…a_{nj_{n}} a11a21.an1a12a22.an2............a1na2n.a33=j1j2...jn(1)N(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn

其中:

a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}…a_{nj_{n}} a1j1a2j2...anjn 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积;

N ( j 1 j 2 . . . j n ) N(j_{1}j_{2}…j_{n}) N(j1j2...jn) 表示列标的逆序数(奇偶性);

∑ j 1 j 2 . . . j n \sum_{j_{1}j_{2}…j_{n}} j1j2...jn 表示对所有n级排列求和(进行累加);

2.2 表示方式

行列式的表示方式: D = ∣ a i j ∣ D = |a_{ij}| D=aij,其中有个性质就是 ∣ a 11 ∣ = a 11 |a_{11}| = a_{11} a11=a11

注意和数学上的区别:比如就存在这种现象: ∣ − 1 ∣ = − 1 |-1| = -1 1=1 ∣ − 1 ∣ = 1 |-1| = 1 1=1

∣ a 11 ∣ = a 11 |a_{11}| = a_{11} a11=a11 这里指的是行列式
∣ a 11 ∣ = ±   a 11 |a_{11}| = \pm\ a_{11} a11=± a11 这里指的是绝对值

2.3 举个例子

∣ 1 2 3 8 1 1 0 4 2 2 0 5 1 0 0 9 ∣ \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 8\\ 1 & 1 & 0 & 4\\ 2 & 2 & 0 &5\\ 1&0&0&9\end{vmatrix} 1121212030008459

进行展开的时候,行标不变,主要是列标的改变,共有 4 ! = 24 4!=24 4!=24项,不妨进行展开看一下

以标准排列为基准,计算出其逆序数,判断运算符号,然后在根据对换数判断其他元素下标的运算符号,也就省去了其他元素下标进行逆序数的计算

运算符号 元素下标 逆序数 对换数 展开项
  • |1234 |0|| + 1 ∗ 1 ∗ 0 ∗ 9 +1*1*0*9 +1109|
  • |1243||1| − 1 ∗ 1 ∗ 5 ∗ 0 -1*1*5*0 1150|
  • | 1324||1| − 1 ∗ 0 ∗ 2 ∗ 9 -1*0*2*9 1029|
  • |1342||2| + 1 ∗ 0 ∗ 5 ∗ 0 +1*0*5*0 +1050|
    … |…|…|…|…|
    真的要把24项全部展开真的太浪费时间了,通过上面的展开,可以发现有些展开项中存在着0这个元素,所以相乘的结果也是0,故该项就为0,这样的话就可以简化一些特殊的行列式,也是属于考试的重点

比如下面行列式:
∣ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 ∣ \begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &2\\ 1&0&0&0\end{vmatrix} 0001100001000020

可以发现每列只有一个元素不为零,且对应的列标为2341,那么最后该4阶行列式展开的结果为: D = ( − 1 ) N ( 2341 ) 1 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 = − 2 D = (-1)^{N(2341)}1*1*2*1 = -2 D=(1)N(2341)1121=2

2.4 三角行列式

上下三角及对角行列式都是针对于主对角线(从左上到右下)来讲的,其对称形式也就是针对于副对角线

计算下面行列式展开项的结果
∣ a 11 0 . . . 0 a 21 a 22 . . . 0 . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ = a 11 a 22 . . . a n n \begin{vmatrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ a_{21} & a_{22} & … & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & … &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}…a_{nn} a11a21.an10a22.an2............00.ann=a11a22...ann

那么按照第一种定义来展开的话,

(1)首先要明确属于特殊的行列式,第一行除了第一个元素全是0,那么在取列表进行排列时候,只能取第一个;

(2)接着往下取,每次的展开项都是要由不同行不同列的n个元素相乘,所以最后只能取得元素就是 a 11 a 22 . . . a n n a_{11}a_{22}…a_{nn} a11a22...ann

(3)最后就是进行前面正负1的判定,下标为标准排列,前面符号取正;

(4)所以最终的下三角行列式的展开结果就为主对角线的乘积

上三角和对角线行列式也是同理,这时候取元素的时候从最后一行开始取即可
∣ a 11 a 12 . . . a 1 n 0 a 22 . . . a 2 n . . . . . . 0 0 . . . a n n ∣ = a 11 a 22 . . . a n n \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & … & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ 0 & 0 & … &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}…a_{nn} a110.0a12a22.0............a1na2n.ann=a11a22...ann

∣ a 11 0 . . . 0 0 a 22 . . . 0 . . . . . . 0 0 . . . a n n ∣ = a 11 a 22 . . . a n n \begin{vmatrix}a_{11} & 0 & … &0 \\ 0 & a_{22} & … & 0\\ .& .& . . .& .\\ 0 & 0 & … &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}…a_{nn} a110.00a22.0............00.ann=a11a22...ann

注意上/下三角和对角线行列式的对称形式,其中的符号问题,如下

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . 0 . . . . . . a n 1 0 . . . 0 ∣ = ( − 1 ) N ( n ( n − 1 ) . . . 3 ∗ 2 ∗ 1 ) a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & 0 & … &0 \end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)…3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}…a_{n1}= (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}…a_{n1} a11a21.an1a12a22.0............a1n0.0=(1)N(n(n1)...321)a1na2(n1)...an1=(1)2n(n1)a1na2(n1)...an1

∣ 0 0 . . . a 1 n 0 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ = ( − 1 ) N ( n ( n − 1 ) . . . 3 ∗ 2 ∗ 1 ) a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 \begin{vmatrix}0 & 0 & … & a_{1n} \\ 0& a_{22} & … & a_{2n} \\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & … &a_{nn}\end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)…3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}…a_{n1} = (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}…a_{n1} 00.an10a22.an2............a1na2n.ann=(1)N(n(n1)...321)a1na2(n1)...an1=(1)2n(n1)a1na2(n1)...an1

∣ 0 0 . . . a 1 n 0 a 22 . . . 0 . . . . . . a n 1 0 . . . 0 ∣ = ( − 1 ) N ( n ( n − 1 ) . . . 3 ∗ 2 ∗ 1 ) a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 ( n − 1 ) . . . a n 1 \begin{vmatrix}0 & 0 & … & a_{1n} \\ 0& a_{22} & … & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & 0 & … &0 \end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)…3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}…a_{n1} = (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}…a_{n1} 00.an10a22.0............a1n0.0=(1)N(n(n1)...321)a1na2(n1)...an1=(1)2n(n1)a1na2(n1)...an1

2.5 第二种定义(按列展开)

还是先拿三阶行列式进行展开示例:
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 31 ∗ a 12 ∗ a 23 + a 21 ∗ a 32 ∗ a 13 − a 31 ∗ a 22 ∗ a 13 − a 21 ∗ a 12 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 32 ∗ a 23 \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{31}*a_{12}*a_{23} +a_{21}*a_{32}*a_{13}-a_{31}*a_{22}*a_{13}-a_{21}*a_{12}*a_{33}-a_{11}*a_{32}*a_{23} a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a31a12a23+a21a32a13a31a22a13a21a12a33a11a32a23

第二种定义为(按列展开):列标取标准排列,行标取排列的所有可能,从不同行不同列中取出n个元素相乘,符号是由行标排列的奇偶性决定的,共有 n ! n! n! 项,公式如下:

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a 33 ∣ = ∑ i 1 i 2 . . . i n ( − 1 ) N ( i 1 i 2 . . . i n ) a i 1 1 a i 2 2 . . . a i n n \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & … &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{i_{1}i_{2}…i_{n}}{(-1)}^{N(i_{1}i_{2}…i_{n})}a_{i_{1}1}a_{i_{2}2}…a_{i_{n}n} a11a21.an1a12a22.an2............a1na2n.a33=i1i2...in(1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn

2.6 第三种定义(随意展开)

这种展开就是既不按照行排列,也不按照列进行排列,还是以三阶的行列式为例,展开的每一项都是有三个元素相乘,如果随意的打乱其中的位置,比如把上面的a11​∗a22​∗a33,变成a33∗a22​∗a11,就变成乱序了,也就不符合上面的前两种定义,这时候的展开项的公式如下

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a 33 ∣ = ∑ ( − 1 ) N ( i 1 i 2 . . . i n ) + N ( j 1 j 2 . . . j n ) a i 1 j 1 a i 2 j 2 . . . a i n j n \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & … &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{}{(-1)}^{N(i_{1}i_{2}…i_{n}) + N(j_{1}j_{2}…j_{n})}a_{i_{1}j_{1}}a_{i_{2}j_{2}}…a_{i_{n}j_{n}} a11a21.an1a12a22.an2............a1na2n.a33=(1)N(i1i2...in)+N(j1j2...jn)ai1j1ai2j2...ainjn

2.7 习题举例

一个行列式的展开式如下,求解其中的i,k,m参数及最后的展开项
( − 1 ) N ( i 21 m ) + N ( 1 k 32 ) a i 1 a 2 k a 13 a m 2 (-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{13}a_{m2} (1)N(i21m)+N(1k32)ai1a2ka13am2

解:

① 首先看符号这里的判定,既不属于行标也不属于列标展开,故为第三种定义展开

②其次,看下标,一个是i21m,一个是1k32,由于是由排列组成的,所以k = 4, i = 3, j = 4 或者 k = 4, j = 3, i = 4

③接着求解逆序数(很明显两个答案对应的结果是一奇一偶,因为经过一次对换),N(3214) + N(1432)= 6; N(4213) + N(1432)=7

④最后展开项为 a 31 a 24 a 13 a 42 a_{31}a_{24}a_{13}a_{42} a31a24a13a42 或者 − a 41 a 24 a 13 a 32 -a_{41}a_{24}a_{13}a_{32} a41a24a13a32

至此,n阶行列式的内容梳理完毕,下一部分为行列式性质的介绍

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