线性代数学习笔记（四）——行列式按行展开

本篇笔记介绍了行列式按行或按列展开定理、异乘变零定理、拉普拉斯定理和行列式相乘定理。

1 行列式按行（列）展开定理

余子式：去掉行列式指定元素所在行和所在列元素后得到的新行列式（顾名思义，即剩余子集行列式）。
$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 0& (3)\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& ②& 3& 4\\ 5& 5& 6& 6\end{array}\right|$

$M_{32}=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 1& 1& 1\\ 5& 6& 6\end{array}\right|$

$M_{14}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 3\\ 5& 5& 6\end{array}\right|$

余子式使用符号$M_{ij}$表示。

代数余子式:在余子式前面添加$(-1{)}^{i+j}$符号。
$A_{32}=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 1& 1& 1\\ 5& 6& 6\end{array}\right|$

$A_{14}=(-1{)}^{1+4}{M}_{14}$

代数余子式使用符号$A_{ij}$表示。

行列式按某行（列）展开定理：给定一个行列式，它的值等于任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即：

按行展开：$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\dots +a_{in}{A}_{in}$
按列展开：$D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\dots +a_{nj}{A}_{nj}$

举例：
$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 0\\ 2& 3& 5\end{array}\right|=1\times (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 5\end{array}\right|+1\times (-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 5\end{array}\right|+2\times (-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right|$

① 行列式按某行（列）展开具有降阶的效果；
② 选0比较多的行（列）进行展开。

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 0\\ 2& 3& 5\end{array}\right|=0\times A_{21}+1\times (-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right|+0\times A_{23}$

2 异乘变零定理

某行（列）元素与另一行（列）元素代数余子式的乘积之和等于零。

举例：
$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 0& 0& 8& 9\\ 2& 2& 5& 4\\ ⑨& ⑨& ⑨& ⑩\end{array}\right|$

用第4行元素与第1行元素的代数余子式相乘：
$9\times A_{11}+9\times A_{12}+9\times A_{13}+10\times A_{14}①$

构造如下行列式（第2、3、4行与行列式$D$相同）：
$D_1=\left|\begin{array}{cccc}⑨& ⑨& ⑨& ⑩\\ 0& 0& 8& 9\\ 2& 2& 5& 4\\ ⑨& ⑨& ⑨& ⑩\end{array}\right|$

将$D_1$按第1行展开：
$9\times A_{11}+9\times A_{12}+9\times A_{13}+10\times A_{14}②$

不难发现，表达式①和表达式②完全相同，而行列式$D_1$第1行和第4行对应相等，根据行列式性质3可知其值为0，故异乘变零也。

3 拉普拉斯定理*

$k$阶子式：取定$k$行$k$列，位于交叉位置元素所以构成的行列式。

举例：
$D=\left|\begin{array}{cccc}①& ②& 3& 4\\ ①& ①& 2& 5\\ 1& 1& 0& 8\\ 9& 9& 9& 10\end{array}\right|$

取定第1行第2行，第1列第2列，得到如下2阶子式：

$\left|\begin{array}{cc}①& ②\\ ①& ①\end{array}\right|$

余子式：除去$k$阶子式所在行和所在列后得到的行列式。

上述行列式$D$的余子式为：
$\left|\begin{array}{cc}0& 8\\ 9& 10\end{array}\right|$

代数余子式：在余子式前面添加$(-1{)}^{(i_1+i_2+\dots +i_k)+(j_1+j_2+\dots +j_k)}$符号。

上述行列式$D$的代数余子式为：
$(-1{)}^{(1+2)+(1+2)}\left|\begin{array}{cc}0& 8\\ 9& 10\end{array}\right|$

拉普拉斯展开定理：在$n$阶行列式中，任意取定$k$行，由$k$行元素组成的所有$k$阶子式与代数余子式乘积之和等于行列式的值。

举例：
$D=\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& (0)& (0)& (0)\\ 3& 4& (0)& (0)& (0)\\ 1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 6& 6& 8& 3& 1\end{array}\right|$

假定取定前2行，不难发现，第3、第4和第5列都是0，与前2行任意一个组合得到的2阶子式均为0，即：$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 0\end{array}\right|$或$\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 0\end{array}\right|$，所以只有前2列组成的2阶子式$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|$不为0。

故：$D=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|\times (-1{)}^{(1+2)+(1+2)}\left|\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 1& 1& 1\\ 8& 3& 1\end{array}\right|$

4 行列式相乘定理

假设$D1$和$D2$是两个$n$阶（同阶）行列式，则它们的乘积可以表示成一个$n$阶行列式。

运算规则：
① 先用$D1$的第1行元素分别乘以$D2$的第1列元素然后相加，结果作为新行列式的第1行的第1个元素；
② 然后用$D1$的第1行元素分别乘以$D2$的第2列元素然后相加，结果作为新行列式的第1行的第2个元素；
③ 再用$D1$的第1行元素分别乘以$D2$的第n列元素然后相加，结果作为新行列式的第1行的第n个元素；
④ 换$D1$的第2行元素分别乘以$D2$的第1列元素然后相加，结果作为新行列式的第2行的第1个元素；
⑤ 然后用$D1$的第2行元素分别乘以$D2$的第2列元素然后相加，结果作为新行列式的第2行的第2个元素；
⑥ 再用$D1$的第2行元素分别乘以$D2$的第n列元素然后相加，结果作为新行列式的第2行的第n个元素；
⑦ 依次最后用$D1$的第n行元素分别乘以$D2$的第n列元素然后相加，结果作为新行列式的第n行的第n个元素。

举例1：
$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}1\times 1+1\times 1+1\times 3& 1\times 2+1\times 3+1\times 2& 1\times 3+1\times 2+1\times 1\\ 2\times 1+0\times 1+0\times 3& 2\times 2+0\times 3+0\times 2& 2\times 3+0\times 2+0\times 1\\ 0\times 1+0\times 1+3\times 3& 0\times 2+0\times 3+3\times 2& 0\times 3+0\times 2+3\times 1\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}5& 7& 6\\ 2& 4& 6\\ 9& 6& 3\end{array}\right|$

举例2：
$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}1\times 1+2\times 0+1\times 2& 1\times 0+2\times 1+1\times 0& 1\times 2+2\times 0+1\times 1\\ 2\times 1+1\times 0+1\times 2& 2\times 0+1\times 1+1\times 0& 2\times 2+1\times 0+1\times 1\\ 1\times 1+1\times 0+2\times 2& 1\times 0+1\times 1+2\times 0& 1\times 2+1\times 0+2\times 1\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 3\\ 4& 1& 5\\ 5& 1& 4\end{array}\right|$

两个不同阶的行列式不能使用行列式相乘定理，如下所示：
$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 1\\ 0& 3& 1& 1\\ 4& 1& 1& 1\end{array}\right|$

行列式的本质就是一个数，所以不同阶的行列式相乘时，可以先分别求出值，再相乘。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.3 行列式按行展开