0、博主高数相关章节目录

高数第一章节——极限&无穷&连续与间断
高数第二章节——导数&求导法则&高阶导数&微分
高数第三章节——微分中值&洛必达&泰勒&单调性与凹凸性&作图&弧微分与曲率
高数第四章节——不定积分&换元积分&分部积分
高数第五章节——定积分&积分上限函数&牛顿——莱布尼兹公式&反常积分与广义积分
高数第六章节——平面图形的面积&旋转体体积&平面截面体体积&平面曲线的弧长&定积分在物理学中的应用
高数第七章节——微分方程概念&一阶微分方程&高阶微分方程
高数竞赛必背重点（随时更）

1、数列

1、微分方程的基本概念

1.1微分方程的定义

1.2 解微分方程

解微分方程是求导的逆运算

1.3 基本概念

2、一阶微分方程

2.1 微分方程的解

2.2 微分方程的通解不一定包括所有的解

2.3 微分方程解法一——可分离变量的微分方程

2.3.1 可分离变量的微分方程的定义$\varphi (y)dy=\psi (x)dx$

2.3.2 求通解的步骤

2.3.3 例题——两端积分求通解

2.4 微分方程解法二——一阶线性微分方程

2.4.1 线性齐次方程$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$

2.4.2 线性非齐次方程$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

2.4.2.1 待定系数

2.4.2.2 一阶线性方程解的结构

2.4.2.3 例题——一阶非齐次线性微分方程

2.4.3 伯努利方程$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\ast y^n$

2.4.3.1 伯努利方程的推导

2.4.3.2 伯努利方程的通解

3、高阶微分方程

3.1 微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程

3.1.1 $y^{(n)}=f(x)$型的方程

3.1.2 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型的方程（不含未知数$y$，含自变量$x$）

3.1.2.1 定义

3.1.2.2 例题——$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型求原方程

3.1.3 不含有$y、y^{\prime }、...、y^{(k-1)}$

3.1.3.1 例题——$y、y^{\prime }、...、y^{(k-1)}$型例题

3.1.4 $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型的方程（含未知数$y$，缺自变量$x$）

3.1.4.1 例题——$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型例题

3.2 微分方程解法四——高阶线性微分方程

3.2.1 二阶线性微分方程

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)$

3.2.2 二阶齐次方程的结构

3.2.3 二阶非齐次线性方程的解的结构

3.3 微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程

3.3.1 常系数齐次线性微分方程定义

3.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解

3.3.2.1 两个不相等实根($\Delta >0$)

3.3.2.2 两个相等实根($\Delta =0$)

3.3.2.3 一对共轭复根($\Delta <0$)

3.3.3.4 公式总结

3.3.4 n阶常系数齐次线性微分方程的解

3.4 微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程

3.4.1 $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$型

3.4.1.1 定义

3.4.1.2 例题

3.4.2 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+P_n(x)sin\omega ]$型

3.4.2.1 求解公式

3.4.2.2 例题

3.4.2.3 生活中的应用

解决振动和共振一类用正余弦描述的物理问题