Matlab求微分方程的数值解

编程小号 • 2023-06-17 19:30 • 未分类

注：首先计算微分方程的解析解，如果发现没有解析解，再用数值解

一、Matlab中求微分方程的数值解函数

[x,y]=solver('f',ts,x0,options)

1）x代表自变量

2）y代表函数值

3）solver代表求解函数，常用的为ode45->函数图像变化较为平稳，ode15s->函数图像存在突变（一个运行时间长时，换另一个）

4）ts=[t0,t1]，代表自变量函数的初值和终值，也可以指定以一个向量

5）x0表示函数的初始值

6）options（可选）：options=odeset(‘reltol’,’rt’,’abstol’,at)，rt，at分别为设定的相对误差，默认为10e-3，10e-6

7）f表示由待解微分方程编写的m函数文件名

二、一阶微分方程的数值解

1、求解步骤：

1）化为标准型（等号左边为微分）如下图

2）带入函数求解

2、例子

例1（求方程）：

题目： $y-y{^'}=2x$ ,初始值为y(0)=3,x范围为[0,2]

解：

1）化为标准型： $y{^'}=y-2x$

2）matlab求解如下：

2.1）新建一个m文件，用来编辑f函数

function dy = f(x,y) % dy是标准化后左边的式子，x是式子右边的自变量，y是因变量
dy = y - 2*x;
end

2.2）新建一个m文件用来计算结果

[x y] = ode45('f',[0,2],3); %x是自变量，y是因变量
figure(1)
plot(x,y,'*-')
axis([0 2 -inf inf])
grid on

3）运行结果

例2：（求方程组）

题目：

$\left\{\begin{matrix} y{_1^'}=y{_2}y{_3}\\ y{_2^'}=-y{_1}y{_3}\\ y{_3^'}=-0.51y{_1}y{_2} \end{matrix}\right.$ ，自变量 $x\in[0.4\pi]$ ，初始值 $y{_1}(0)=0,y{_2}(0)=y{_3}(0)=1$

解：

1）化为标准型（题目已经为标准型）

2）matlab代码

2.1）新建一个m文件，用来编辑f函数

function dy = f(x,y) % dy是标准化后左边的式子，x是式子右边的自变量，y是因变量
    dy = zeros(3,1);
    dy(1) = y(2)*y(3);
    dy(2) = -y(1)*y(3);
    dy(3) = -0.51*y(1)*y(2);
end

2.2）新建一个m文件用来计算结果

[x, y] = ode45('f', [0 4*pi], [0 1 1]);  % 这里的y是一个有3列的矩阵哦！x是自变量，y是因变量
plot(x, y(:,1), 'o', x, y(:,2), '*', x, y(:,3), '+') 
legend('y1','y2','y3')  % 加上标注
axis([0, 4*pi, -inf, +inf])  % 设置横坐标范围为0-4pi，纵坐标范围不需要设置，写成-inf到+inf

3）结果