第二十五讲 用线性代数解微分方程组

第二十五讲 用线性代数解微分方程组一,上一讲的例题,如图:设x=T1x=T_1x=T1​,y=T2y=T_2y=T2​方程组为·:{x′=−2x+2yy′=2x−5y\left\{\begin{matrix}{x}'=-2x+2y\\{y}'=2x-5y\end{matrix}\right.{x′=−2x+2yy′=2x−5y​用消元法求出的通解为:{x=c1e−t+c2e−6ty=1…

一,上一讲的例题,如图:
在这里插入图片描述
x = T 1 x=T_1 x=T1 y = T 2 y=T_2 y=T2
方程组为·: { x ′ = − 2 x + 2 y y ′ = 2 x − 5 y \left\{\begin{matrix}{x}'=-2x+2y\\ {y}'=2x-5y\end{matrix}\right. {
x=2x+2yy=2x5y

用消元法求出的通解为: { x = c 1 e − t + c 2 e − 6 t y = 1 2 c 1 e − t − 2 c 2 e − 6 t \left\{\begin{matrix}x=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{-6t}\\ y=\frac{1}{2}c_{1}e^{-t}-2c_{2}e^{-6t}\end{matrix}\right. {
x=c1et+c2e6ty=21c1et2c2e6t

二,用矩阵重新表示方程组:
[ x ′ y ′ ] = [ − 2 2 2 − 5 ] [ x y ] \begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix} [xy]=[2225][xy]

三,用矩阵重新表示通解:
[ x y ] = c 1 [ 1 1 2 ] e − t + c 2 [ 1 − 2 ] e − 6 t \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-6t} [xy]=c1[121]et+c2[12]e6t

四,设解的形式为:
[ x y ] = [ a 1 a 2 ] e λ t \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t} [xy]=[a1a2]eλt

五,将解带入方程组:
[ x ′ y ′ ] = λ [ a 1 a 2 ] e λ t = [ − 2 2 2 − 5 ] [ a 1 a 2 ] e λ t = [ − 2 2 2 − 5 ] [ x y ] \begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}e^{\lambda t}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix} [xy]=λ[a1a2]eλt=[2225][a1a2]eλt=[2225][xy]

六,化简,求出特征值:

  1. λ [ a 1 a 2 ] = [ − 2 2 2 − 5 ] [ a 1 a 2 ] \lambda \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix} λ[a1a2]=[2225][a1a2]
  2. [ − 2 2 2 − 5 ] [ a 1 a 2 ] − λ [ a 1 a 2 ] = 0 \begin{bmatrix}-2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}-\lambda \begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=0 [2225][a1a2]λ[a1a2]=0
  3. [ − 2 − λ 2 2 − 5 − λ ] [ a 1 a 2 ] = 0 \begin{bmatrix}-2-\lambda &2 \\ 2 & -5-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0 [2λ225λ][a1a2]=0
  4. 要使等式有非0解,必须满足: ∣ − 2 − λ 2 2 − 5 − λ ∣ = 0 \begin{vmatrix}-2-\lambda & 2 \\ 2 & -5-\lambda \end{vmatrix}=0 2λ225λ=0
  5. 解得: λ 1 = − 1 , λ 2 = − 6 \lambda _{1}=-1, \lambda _{2}=-6 λ1=1,λ2=6,(答案跟上一讲求的特征值一样)

七,将 λ 1 \lambda _{1} λ1 λ 2 \lambda _{2} λ2分别代入等式,求出特征向量:

  1. λ 1 \lambda _{1} λ1代入: [ − 1 2 2 − 4 ] [ a 1 a 2 ] = 0 \begin{bmatrix}-1 &2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0 [1224][a1a2]=0
  2. 设自由变量 a 1 = 1 a_{1}=1 a1=1,则 a 2 = 1 2 a_{2}=\frac{1}{2} a2=21 [ a 1 a 2 ] = c 1 [ 1 1 2 ] \begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix} [a1a2]=c1[121] c 1 c_{1} c1为任意常数
  3. [ x y ] = [ a 1 a 2 ] e λ t = c 1 [ 1 1 2 ] e − t \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t} [xy]=[a1a2]eλt=c1[121]et
  4. λ 2 \lambda _{2} λ2代入: [ 4 2 2 1 ] [ a 1 a 2 ] = 0 \begin{bmatrix}4 &2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0 [4221][a1a2]=0
  5. 设自由变量 a 1 = 1 a_{1}=1 a1=1,则 a 2 = − 2 a_{2}=-2 a2=2 [ a 1 a 2 ] = c 2 [ 1 − 2 ] \begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -2\end{bmatrix} [a1a2]=c2[12] c 2 c_{2} c2为任意常数
  6. [ x y ] = [ a 1 a 2 ] e λ t = c 2 [ 1 − 2 ] e − 6 t \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -2\end{bmatrix}e^{-6t} [xy]=[a1a2]eλt=c2[12]e6t

八,得解空间:
[ x y ] = c 1 [ 1 1 2 ] e − t + c 2 [ 1 − 2 ] e − 6 t \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-6t} [xy]=c1[121]et+c2[12]e6t

九,二阶矩阵的特征值是如下方程的解:
λ 2 − t r a c e ( A ) λ + d e t A = 0 \lambda ^{2}-trace(A)\lambda +detA =0 λ2trace(A)λ+detA=0
trace(A)是A的迹,detA是A的行列式

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