特征提取（机器学习数据预处理）

特征提取与特征选择都是数据降维的技术，不过二者有着本质上的区别；特征选择能够保持数据的原始特征，最终得到的降维数据其实是原数据集的一个子集；而特征提取会通过数据转换或数据映射得到一个新的特征空间，尽管新的特征空间是在原特征基础上得来的，但是凭借人眼观察可能看不出新数据集与原始数据集之间的关联。

这里介绍2种常见的特征提取技术：

1）主成分分析（PCA）

2）线性判别分析（LDA）

1.主成分分析（PCA）

一种无监督的数据压缩，数据提取技术，通常用于提高计算效率，帮助降低”维度灾难“，尤其是当模型不适于正则化时。

PCA是一种线性转换技术，其目标是在高纬度数据中找到最大方差的方向，并将数据映射到不大于原始数据的新的子空间上。（所谓数据方差最大的方向即数据沿着该方向的分布最分散）

PCA算法的流程：

1）对原始d维数据集做标准化处理；

2）构造样本的协方差矩阵；

3）计算协方差矩阵的特征值和相应的特征向量；

4）选择前k个最大特征值对应的特征向量，其中$k\leq d$;

5）通过前k个特征向量构建映射矩阵W；

6）通过映射矩阵W将d维的原始数据转换为k维的特征子空间。

标准化处理之前的内容有，这里不再赘述；

1.1构造协方差矩阵

公式：

$\sigma_{jk}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{j}^{(i)}-u_{j})(x_{k}^{(i)}-u_{k})$

n代表数据的总个数，$u_{j}$和$u_{k}$分别代表特征j和k的均值；在标准化后的数据中，样本的均值为0，所以在标准化处理后的数据的协方差又可以表示为：

$\sigma_{jk}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{j}^{(i)}x_{k}^{(i)}$

1.2 协方差特征值与特征向量计算

数学原理不在这里细说，代码实现见下面的小节。

1.3 特征值与特征向量的选取

选取那些包含信息最多的的特征向量组成子集，特征值的大小决定了特征向量的重要性，所以选择特征值大小靠前的k个特征值作为选中的特征值，其对应的特征变量作为构建映射矩阵的特征向量。

我们还可以绘制特征值的贡献率：

$\frac{\lambda_{j}}{\sum_{j=1}^{d}\lambda_{j}}$，$\lambda_{j}$表示第j个特征值。

1.4 构建映射矩阵W

将选中的k个特征向量构成一个(d,k)维的矩阵W。

1.5程序实现

import pandas as pd 
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

df = pd.DataFrame([\
    [1,2,3,4,5,6],\
    [2,4,6,3,3,4],\
    [3,6,10,4,7,7],\
    [2,4,7,6,5,4],\
    [4,7,13,7,3,2],\
    [1,2,3,3,6,4]\
    ],columns=["A","B","C","D","E","F"])

#1.标准化
sc = StandardScaler()
sc.fit(df.values)
X_std = sc.transform(df.values)

#2.生成协方差矩阵
cov_mat = np.cov(X_std)

#3.协方差矩阵的特征值与特征向量
eigen_vals,eigen_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)

#4.按照重要程度由高往低将特征变量排序
sort_list = np.argsort(eigen_vals)

#取前两个向量组成转换矩阵
w = np.column_stack((eigen_vecs[:,sort_list[0]],eigen_vecs[:,sort_list[1]]))

#5.取第一个数据进行转换
x_1= X_std[0].dot(w)
print(x_1)

结果如下：

scikit_learn.decomposition模块中的PCA类也可实现此功能，使用方式如下：

from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_component=2)
X_train_pca = pca(X_train_std)

PCA类中的n_component用于指定需要降到的维数。

2.线性判别分析（LDA）

LDA的目标是发现可以最优化分类的特征子空间，是一种监督算法。

LDA的执行步骤是：

1）对d维的原数据集进行标准化处理；

2）对于每一类别，计算d维的均值向量；

3）构造类间的散布矩阵$S_{B}$以及类内的散布矩阵$S_{W}$;

4)计算$S_{W}^{-1}S_{B}$的特征值及对应的特征向量；

5）选取前k个特征值所对应的特征向量，构造一个$d\timesk$维的转换矩阵W，其中特征向量以列的形式排列；

6）使用转换矩阵W将样本映射到新的特征子空间上。

大致上与PCA很相似，这里只介绍与PCA中不同的部分。

2.1计算类内散布矩阵$S_{W}$

 首先计算均值向量$m_{i}$，$m_{i}$储存了类别i中样本的特征均值$u_{m}$，$m_{i}$不是一个值，而是一个向量,包含了每一个特征的均值。

$m_{i}=\frac{1}{n_{i}}\sum_{x\in  D_{i}}^{c}x_{m}$;

import pandas as pd 
import numpy as np

df = pd.DataFrame([\
    [1,2,3,4,5,"ONE"],\
    [2,4,6,3,3,"TWO"],\
    [2,4,7,6,5,"ONE"],\
    [4,7,13,7,3,"TWO"],\
    ],columns=["A","B","C","D","E","class_label"])


#类别列表
label_list = np.unique(df["class_label"].values)

mean_by_label = {}

#通过类别的数值作为key保存该类别对应的数据的均值
for label in label_list:
    mean_by_label[label] = np.mean(df[df["class_label"]==label].values[:,:-1],axis=0)

for key,value in mean_by_label.items():
    print(key,value)

结果如下：

每个类别i的散布矩阵$S_{i}$的表达式，Ni表示类别i内的样本数量，这个和协方差的表达式是相同的。

$S_{i}=\frac{1}{N_i}\sum_{x\in D_{i}}^{c}(x-m_{i})(x-m_{i})^{T}N_i$

最终的类内散布矩阵$S_{W}$是由各个类别的散布矩阵累加得来的：

$S_{W}=\sum_{i=1}^{c}S_{i}$

2.2计算类间散布矩阵$S_{B}$

$S_{B}=\sum_{i=1}^{c}N_{i}(m_{i}-m)(m_{i}-m)^{T}$

其中c代表类别总数量，Ni表示类别i的样本数量，mi是类别i的均值，m是所有数据的均值

2.3LDA转换矩阵

PCA是对协方差举证求特征值和特征向量，而LDA是对$S_{W}^{-1}S_{B}$矩阵求解广义特征值和特征向量，剩下的与PCA相同。

同样scikit-learn库中也实现了LDA类

from sklearn.lda import LDA
lda = LDA(n_componets=2)

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