伽玛函数_伽马函数常用公式

伽玛函数_伽马函数常用公式伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。伽玛函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。 我们通常看到的伽玛函数是这样的: 这到底是个什么东西?有什么用?欧拉又是怎么发现它的? 欧拉大神 伽玛函数的起因 发现伽玛函数的起因是数列插值。数列插

  伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。伽玛函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。

  我们通常看到的伽玛函数是这样的:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  这到底是个什么东西?有什么用?欧拉又是怎么发现它的?

伽玛函数_伽马函数常用公式

  欧拉大神

伽玛函数的起因

  发现伽玛函数的起因是数列插值。数列插值问题,通俗地说就是把数列的通项公式从整数定义域扩展到实数。例如数列1,4,9,16,…..可以用通项公式n²表达,即便n为实数的时候,这个通项公式也是良好定义的。直观的说,就是可以找到一条平滑的曲线y = x²,该曲线能够通过所有的整数点(x, x²),从而可以把定义在整数域的公式扩展到实数域。

伽玛函数_伽马函数常用公式

  1728年,哥德巴赫开始处理阶乘序列的插值问题:1,2,6,24,120,720,…,既然可以计算2!, 3!,…,是否可以计算2.5!呢?把最初的一些(n, n!)的点画在坐标轴上,确实可以看到,能够画出一条通过这些点的平滑曲线。问题是,这条曲线是什么?

伽玛函数_伽马函数常用公式

伽玛函数_伽马函数常用公式

  哥德巴赫无法解决阶乘往实数域上扩展的这个问题,于是写信请教尼古拉斯·贝努利和丹尼尔·贝努利两兄弟,由于欧拉当时正好和丹尼尔·贝努利在一块玩,他也因此得知了这个问题。之后欧拉于1729年完美地解决了这个问题,由此导致了伽玛函数的诞生。当时欧拉只有 22 岁,这让我感觉自己就是混吃等死的。

发现伽玛函数

  在某一个特殊的时刻,欧拉发现阶乘n!可以用一个无穷乘积表示:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  如果有m项乘积:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  当m远远大于n时,上式可继续计算:

伽玛函数_伽马函数常用公式  

  当m→∞时,无穷乘积的极限:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  很难想像在没有计算机的年代能够发现这个变态的无穷乘积,估计欧拉当年是根据极限倒推无穷乘积,然后对外宣称在机缘巧合下发现了无穷乘积。

  值得注意的是,n!明显不等于③,③又是由②整理而来的,因此n!也不等于②,而是在m→∞时n!等于②或③的极限。以n = 2为例,n! = 2,m是2、50、100时,②的结果分别是1.5、1.9615384615384617、1.980392156862745,展开的越多,越接近于n!。

  

  有了这个无穷乘积,欧拉便开用1/2代入①进行尝试:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  根号里面的东西是英国数学家沃利斯(John Wallis)在1665年写下的沃利斯公式:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  于是欧拉把沃利斯公式折半:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  π真是一个神奇的数字!

  1665年牛顿还很小,还没有发明积分,沃利斯用各种巧妙的技巧得到了这个结论,推导过程实际上是在处理伽玛函数_伽马函数常用公式。受沃利斯的启发,欧拉开始考虑如下的一般形式的积分:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  此处n为正整数,a为正实数。利用分部积分:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  继续使用分部积分:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  上面所有递推合并到一起就得到了最终的结果:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  现在阶乘变成了积分的形式。然而这个式子的前提是n是正整数,无法推广到分数,欧拉继续研究如何化简这个表达式。a是一个任意实数,能否让a消失?一个惯用的方法是取极端值,a > 0的一个极端是无穷,看看让a趋近于无穷时会得到什么结果。这里欧拉使用的技巧是让a等于两个实数的商:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  等式两侧同时除以(f+g)(f+2g)…(f+ng):

伽玛函数_伽马函数常用公式

  当f→1,g→0时,左侧趋近于n!,但是右侧出现了讨厌的0分母,此时为了简化计算:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  将上式结论代入④:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  用求极限的方式去掉f和g:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  当f→1,g→0时h→0,(1-th)/h的极限变成了0/0的形式,在洛必达法则的帮助下,0/0形和∞/∞形的极限也是可以求解的。令u(h) = 1-th,v(h) = h,根据洛必达法则:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  于是在对⑤的等式两侧求极限时,神奇的一幕出现了:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  任意实数a已经消失了,n!变成了一个简洁的积分形式。继续变换:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  这就是欧拉最早定义的伽玛函数,实际上就是阶乘扩展到实数范围:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  但是欧拉后来修改了伽玛函数的定义,变成了:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  这也是现在我们所说的伽玛函数,⑥和⑦是两种表达,⑦更为常见,从积分域可以看出t和u的取值范围。

伽玛函数的性质

  欧拉在伽玛函数的推导中实际上引入了两类积分形式:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  后来这两个积分的参数做了-1的偏移,改为:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  B(α, β)现在成为贝塔函数或贝塔积分,Γ(x)实际上是在计算x – 1的阶乘,两个函数之间存在一些很好的关系:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  我们知道0! = 1,Γ(1)对此进行了解释:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  来看一下Γ函数的曲线:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  从Γ函数的曲线可以看出Γ函数是一个凸函数,logΓ也是一个凸函数:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  下面的的matlib代码绘制了Γ(x)和logΓ(x)的曲线:

x = 0:0.1:10;
plot(x, gamma(x));
axis([0,4,0,6]);
xlabel('x');
ylabel('r(x)');
figure;
plot(x, lgamma(x));
axis([0,8,-1,6]);
xlabel('x');
ylabel('logr(x)');

伽玛分布

  伽玛函数在概率统计中频繁现身,泊松分布、贝塔分布、狄克雷分布中都有伽玛函数的身影。当然,发生最直接联系的概率分布是直接由伽玛函数变换得到的伽玛分布。

  为了便于看清伽玛分布,先把伽玛函数中的变量名称修改一下:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  等式两侧同时除以Γ(α):

伽玛函数_伽马函数常用公式

  这正好符合连续型概率分布的定义,被积函数就是伽玛分布的密度函数:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  如果令u = βx,则:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  于是我们得到了伽玛分布的一般形态:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  其中α称为形状参数(shape parameter),决定了分布曲线的形状;β称为速率参数(rate parameter)或逆尺参数(inverse scale parameter),决定了曲线的陡峭程度:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  可以看到, β之所以被称为逆尺参数,是因为1/β越大,曲线越陡峭。在matlab中,gamma分布的参数使用的是1/β:

x = 0:0.1:20;
a = [1 2 3 5 9];
b = [0.5 0.5 0.5 1 2];
L(1, 1) = {”};
for i = 1:size(a)(2)
g = gampdf(x, a(i), 1/b(i));
L(1, i) = [‘alpha=’, num2str(a(i)), ‘,beta=’, num2str(b(i))];
plot(x, g, ‘LineWidth’,2);
hold on;
endfor

legend(L);
xlabel(‘x’);
ylabel(‘f(x;alpha, beta)’);
axis([0,20,0,0.5]);

  概率统计中的众多分布都和Gamma分布有密切关系。以泊松分布为例,随机变量X服从参数为λ的泊松分布分布X~Po(X; λ),其质量函数是:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  在Gamma分布的密度中取α=r+1,β=1得到:

伽玛函数_伽马函数常用公式

  因此当β=1时,Gamma分布和泊松分布在形式上是完全一致的,只是泊松分布是离散的,而Gamma分布是连续的,可以直观地认为Gamma分布是泊松分布在正实数集上的连续化版本。

  

  伽玛分布的期望值和方差分别为:

伽玛函数_伽马函数常用公式

 

  本文参考:https://cosx.org/2013/01/lda-math-gamma-function


  出处:微信公众号 “我是8位的”

  本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

  扫描二维码关注作者公众号“我是8位的”

伽玛函数_伽马函数常用公式

今天的文章伽玛函数_伽马函数常用公式分享到此就结束了,感谢您的阅读,如果确实帮到您,您可以动动手指转发给其他人。

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。
如需转载请保留出处:https://bianchenghao.cn/52145.html

(0)
编程小号编程小号
上一篇 2023-08-31
下一篇 2023-08-31

相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注