Dijkstra算法详解

Dijkstra算法设计
相关题的题解
- 最小花费2020/7/8
写在最后的话

Dijkstra算法设计

Dijkstra算法简介

Dijkstra算法是解决**单源最短路径**问题的**贪心算法**
它先求出长度最短的一条路径，再参照该最短路径求出长度次短的一条路径
	直到求出从源点到其他各个顶点的最短路径。

Dijkstra算法的基本思想

首先假定源点为u，顶点集合V被划分为两部分：集合 S 和 V-S。	初始时S中仅含有源点u，其中S中的顶点到源点的最短路径已经确定。
集合S 和V-S中所包含的顶点到源点的最短路径的长度待定，称从源点出发只经过S中的点到达V-S中的点的路径为特殊路径，
并用dist[]记录当前每个顶点对应的最短特殊路径长度。

Dijkstra贪心策略

选择特殊路径长度最短的路径，将其连接的V-S中的顶点加入到集合S中，同时更新数组dist[]。一旦S包含了所有顶点，dist[]就是从源到所有其他顶点的最短路径长度。
（1）数据结构。 设置地图的带权邻接矩阵为map[][]，即如果从源点u到顶点i有边，就令map[u][i]=<u,i>的权值，否则map[u][i]=∞；
		      采用一维数组dist[i]来记录从源点到i顶点的最短路径长度：采用一维数组p[i]来记录最短路径上i顶点的前驱。
（2）初始化。令集合S={ 
   u}，对于集合V-S中的所有顶点x，初始化dist[i]=map[u][i],如果源点u到顶点i有边相连，初始化p[i]=u(i的前驱是u),否则p[i]=-1
（3）找最小。在集合V-S中依照贪心策略来寻找使得dist[j]具有最小值的顶点t,即dist[t]=min，则顶点t就是集合V-S中距离源点u最近的顶点。
（4）加入S战队。将顶点t加入集合S，同时更新V-S
（5）判结束。如果集合V-S为空，算法结束，否则转6
（6）借东风。在（3）中已近找到了源点到t的最短路径，那么对集合V-S中所有与顶点t相邻的顶点j，都可以借助t走捷径。
			如果dist[j]>dist[t]+map[t][j],则dist[j]=dist[t]+map[t][j]，记录顶点j的前驱为t，p[j]=t，转（3）。
			//我自己在这里理解就是，从u找到与它最近的点t，在从t找到与它最近的点j，在....按照这样持续下去，直到最后一个点
	这里我再通俗的解释下这个借东风的意思。
	源点为1，如果我们找到了距离源点最近的点2，且点2与3,4相连。
		这样，我们如果要倒3,4有两种方法：
				1->2->3(4)
				1->3(4)
		这里我们就要判断是从1直接到3(4)快，还是经过2后快。假设<1,2>=2 / <2,3>=3 / <1,3>=4
			根据上面的数据，我们第一次找最小找到的是2结点，如果我们直接把2替换掉1当做源点继续找下一个最近的点，这种方法是错的。
			因为可以看出1->3只用4，而过2的话要用5。

完美图解

这里我就直接放图片了，书里的图不好画。但主要的是自己按照其流程过一遍，在草稿纸上自己画一遍，本书的网盘地址在文章末。

伪代码详解

跟着图解大致了解了一遍接下来就要上代码了，放心，代码不是一个完整的几十行的代码，全部按步骤划分好了的，这里方便大家粘贴。

/* (1)数据结构 n:城市顶点个数. m:城市间路线的条数. map[][]:地图对应的带权邻接矩阵. dist[]:记录源点u到某顶点的最短路径长度。 p[]:记录源点到某顶点的最短路径上的该顶点的前一个顶点(前驱).flag[]：flag[i]=true说明顶点i已加入到集合S，否则该顶点属于集合V-S */
	const int N=100;//初始化城市个数，可修改
	const int INF=1e7;	//无穷大
	int map[N][N],dist[N],p[N],n,m;
	bool flag[N];

//(2)初始化源点u到其他各个顶点的最短路径长度，初始化源点u出边邻接点的前驱为u
	bool flag[n];//如果flag[i]=true,说明该顶点i已经加入到集合S；否则i属于集合V-S
	for(int i=1;i<=n;i++){ 
   
		dist[i]=map[u][i];	//初始化源点u到其他各个顶点的最短路径长度
		flag[i]=false;
		if(dist[i]==INF)
			p[i]=-1;	//说明源点u到顶点i无边相连，设置p[i]=-1
		else
			p[i]=u;	//说明源点u到顶点i有边相连，设置p[i]=u
	}
//(3)初始化集合S，令集合S={u},从源点u的最短路径为0
	flag[u]=true;//初始化集合S中，只有一个元素：源点u
	dist[u]=0;	//初始化源点u的最短路径为0，自己到自己的最短路径

//(4)找最小.在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t,若找不到，则跳出循环;否则，将t加入集合S。
	int temp=INF,t=u;
	for(int j=1;j<=n;j++){ 
   //在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t
		if(!flag[j] && dist[j]<temp){ 
   
			t=j;	//记录距离源点u最近的顶点
			temp=dist[j];
		}
	}
	if(t==u) return ;	//找不到t跳出循环
	flag[t]=true;	//否则，将t加入集合S
	
//(5)借东风。考察集合V-S中源点u到t的邻接点j的距离，如果源点u经过t到达j的路径更短，
// 则更新dist[j]=dist[t]+map[t][j],即松弛操作，并记录j的前驱为t;
	for(int j=1;j<=n;j++){ 
   //更新集合V-S中与t邻接的顶点到u的距离
		if(!flag[j] && map[t][j]<INF){ 
   //！flag[j]表示j在v-s集合中，map[t][j]<INF表示t与j邻接
			if(dist[j]>(dist[t]+map[t][j])){ 
   //经过t到达j的路径更短
				dist[j]=dist[t]+map[t][j];
				p[j]=t;	//记录j的前驱为t
			}
		}
	}	
//重复(4)~(5),知道源点u到所有顶点的最短路径被找到

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100;	//城市个数可修改
const int INF=1e7;	//初始化无穷大为.......
int map[N][N],dist[N],p[N],n,m;	//n为城市个数，m为城市间路线的条数
bool flag[N];	//如果flag[i]=true,说明该顶点i已经加入到集合S；否则i属于集合V-S

void Dijkstra(int u){ 
   
	for(int i=1;i<=n;i++){ 
   //********>>>--1--<<<******//
		dist[i]=map[u][i];	//初始化源点u到其他各个顶点的最短路径长度
		flag[i]=false;
		if(dist[i]==INF)
			p[i]=-1;	//说明源点u到顶点i无边相连，设置p[i]=-1
		else
			p[i]=u;	//说明源点u到顶点i有边相连，设置p[i]=u
	}
	flag[u]=true;//初始化集合S中，只有一个元素：源点u
	dist[u]=0;	//初始化源点u的最短路径为0，自己到自己的最短路径
	for(int i=1;i<=n;i++){ 
   //********>>>--2--<<<******//
		int temp=INF,t=u;
		for(int j=1;j<=n;j++){ 
   //>>--3--<<在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t
			if(!flag[j] && dist[j]<temp){ 
   
				t=j;	//记录距离源点u最近的顶点
				temp=dist[j];
			}
		}
		if(t==u) return ;	//找不到t跳出循环
		flag[t]=true;	//否则，将t加入集合S
		for(int j=1;j<=n;j++){ 
   //>>--4--<<更新集合V-S中与t邻接的顶点到u的距离
			if(!flag[j] && map[t][j]<INF){ 
   //！flag[j]表示j在v-s集合中，map[t][j]<INF表示t与j邻接
				if(dist[j]>(dist[t]+map[t][j])){ 
   //经过t到达j的路径更短
					dist[j]=dist[t]+map[t][j];
					p[j]=t;	//记录j的前驱为t
				}
			}
		}	
	}	
}

int main(){ 
   
		int u, v, w, st;
	system("color 0d");
	cout << "请输入城市的个数：" << endl;
	cin >> n;
	cout << "请输入城市之间的路线个数" << endl;
	cin >> m;
	cout << "请输入城市之间的路线以及距离" << endl;
	for(int i=1;i<=n;i++)//初始化图的邻接矩阵
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{ 
   
			map[i][j] = INF;//初始化邻接矩阵为无穷大
		}
	while (m--)
	{ 
   
		cin >> u >> v >> w;
		map[u][v] = min(map[u][v], w);	//邻接矩阵存储，保留最小的距离
	}
	cout << "请输入小明所在的位置：" << endl;
	cin >> st;
	Dijkstra(st);
	cout << "小明所在的位置：" << st << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{ 
   
		cout << "小明：" << st << " - " << "要去的位置：" << i << endl;
		if (dist[i] == INF)
			cout << "sorry,无路可达" << endl;
		else
			cout << "最短距离为：" << dist[i] << endl; 
	}
	return 0;
}

输入
请输入城市的个数：
5
请输入城市之间的路线个数
11
请输入城市之间的路线以及距离
1 5 2
5 1 8
1 2 16
2 1 29
5 2 32
2 4 13
4 2 27
1 3 15
3 1 21
3 4 7
4 3 19
请输入小明所在的位置：
5

输出
小明所在的位置：5
小明：5 - 要去的位置：1 最短距离为：8
小明：5 - 要去的位置：2 最短距离为：24
小明：5 - 要去的位置：3 最短距离为：23
小明：5 - 要去的位置：4 最短距离为：30
小明：5 - 要去的位置：5 最短距离为：0

因为我们在程序中使用了p[]数组记录了最短路径上每一个结点的前驱，所以我们可以增加一段程序逆向该最短路径上的城市序列。
void findpath(int u)
{ 
   
	int x;
	stack<int>s;
	cout << "源点为：" << u << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{ 
   
		x = p[i];
		while (x != -1)
		{ 
   
			s.push(x);
			x = p[x];
		}
		cout << "源点到其他各顶点的最短路径为：";
		while (!s.empty())
		{ 
   
			cout << s.top() << "--";
			s.pop();
		}
		cout << i << ";最短距离为：" << dist[i] << endl;
	}
}
只需要在主函数末尾调用即可

结果为：
源点为：5
源点到其他各顶点的最短路径为：5--1;最短距离为：8
源点到其他各顶点的最短路径为：5--1--2;最短距离为：24
源点到其他各顶点的最短路径为：5--1--3;最短距离为：23
源点到其他各顶点的最短路径为：5--1--3--4;最短距离为：30
源点到其他各顶点的最短路径为：5;最短距离为：0

算法解析及优化拓展

使用优先队列的完整代码

#include<queue>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;//城市的个数可修改
const int INF = 1e7;//初始化无穷大为10000000
int map[N][N], dist[N], p[N], n, m;//n为城市的个数，m为城市间路线的条数
int flag[N];	// 如果flag[i]==true,说明顶点i已经加入到集合S；否则顶点i属于集合V-S

struct Node { 
   
	int u, step;
	Node() { 
   };
	Node(int a, int sp)
	{ 
   
		u = a, step = sp;
	}
	bool operator<(const Node& a)const { 
   //重载 <
		return step > a.step;
	}
};

void Dijkstra(int st)
{ 
   
	priority_queue<Node>Q;//优先队列优化
	Q.push(Node(st, 0));
	memset(flag, 0, sizeof(flag));//初始化flag数组为0
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		dist[i] = INF;//初始化所有距离为无穷大
	dist[st] = 0;
	while (!Q.empty())
	{ 
   
		Node it = Q.top();//优先队列列头元素为最小值
		Q.pop();
		int t = it.u;
		if (flag[t])//说明已经找到了最短距离，该节点是队列里面的重复元素
			continue;
		flag[t] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{ 
   
			if(!flag[i] && map[t][i]<INF)//判断与当前点有关系的点，并且自己不能到自己
				if (dist[i] > dist[t] + map[t][i])
				{ 
   
					//求距离当前点的每个点的最短距离，进行松弛操作
					dist[i] = dist[t] + map[t][i];
					Q.push(Node(i, dist[i]));//把更新后的最短距离压入队列中，注意：里面有重复元素
				}
		}
	}

}

int main()
{ 
   
	int u, v, w, st;
	system("color 0d");
	cout << "请输入城市的个数：" << endl;
	cin >> n;
	cout << "请输入城市之间的路线个数" << endl;
	cin >> m;
	cout << "请输入城市之间的路线以及距离" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)//初始化图的邻接矩阵
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{ 
   
			map[i][j] = INF;//初始化邻接矩阵为无穷大
		}
	while (m--)
	{ 
   
		cin >> u >> v >> w;
		map[u][v] = min(map[u][v], w);	//邻接矩阵存储，保留最小的距离
	}
	cout << "请输入小明所在的位置：" << endl;
	cin >> st;
	Dijkstra(st);
	cout << "小明所在的位置：" << st << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{ 
   
		cout << "小明：" << st << " ---> " << "要去的位置：" << i;
		if (dist[i] == INF)
			cout << "sorry,无路可达" << endl;
		else
			cout << " 最短距离为：" << dist[i] << endl;
	}
	return 0;
}

/* 请输入城市的个数： 5 请输入城市之间的路线个数 11 请输入城市之间的路线以及距离 1 5 2 5 1 8 1 2 16 2 1 29 5 2 32 2 4 13 4 2 27 1 3 15 3 1 21 3 4 7 4 3 19 请输入小明所在的位置： 5 小明所在的位置：5 小明：5 ---> 要去的位置：1 最短距离为：8 小明：5 ---> 要去的位置：2 最短距离为：24 小明：5 ---> 要去的位置：3 最短距离为：23 小明：5 ---> 要去的位置：4 最短距离为：30 小明：5 ---> 要去的位置：5 最短距离为：0 */

写在最后的话

到这里文章就结束了，花了2个小时写的文字qwq,不过把这篇文章弄懂了也不能说掌握了Dijkstra算法，
	它还有很多的变形，也有很多同类，如Floyd,Prime...
	我将会在后期找几篇Dijkstra的题目并附上详细题解，这里的题解将会是基于这篇文章的代码来的
		我会在题解中详细标明哪些地方改动了，毕竟我2个月前学这个的时候就是因为版本太多了，还么理解透就接触
			这么多版本真的学不下去。
	我准备在暑期发表一些难的算法详细讲解的文章，有 Dijkstra,Floyd,并查集,动态规划,Prime,SPFA,树的相关问题。

对了，差点忘了趣学算法这本书的链接：
链接：https://pan.baidu.com/s/1Dg2zr-aggpJbT_ER22lVsg 
提取码：35j9

大家也可以查看我的个人博客 http://121.5.100.85:10001/

没发在CSDN里，也是因为有些内容是借鉴的，以防增加百度搜索中的水文、重复文章，真的太烦了。。。。。

今天的文章Dijkstra算法详解（完美图解、趣学算法）分享到此就结束了，感谢您的阅读。

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Dijkstra算法详解（完美图解、趣学算法）