Monte Carlo Integration

：蒙特卡罗积分，近似求定积分的一种方法，取某个点x_i，对应的y值做矩形，此矩形近似等于定积分面积，然后取多次求平均

求出概率密度函数pdf，就可以解出定积分，一般使用平均采样，使得概率密度函数是常数，概率密度函数在自变量区间内对dx进行积分就是概率之和等于1。

此时上图中的F_N就是开头提出的那种以矩形面积近似等于定积分的结果，b-a为矩形的宽，f(X_i)为矩形的高，然后加起来求平均。

下图就是蒙特卡罗积分求定积分的公式。

路径追踪

Whitted-Style Ray Tracing: Problem 1：

Whitted-Style的性质是镜面反射和折射，在粗糙表面会停止反射。
Whitted-Style Ray Tracing在镜面反射的物体表面上是对的，但在漫反射的（粗糙）物体表面上是错的，因为Whitted-Style的光线只会镜面反射和折射，而实际物体表面的光线是有漫反射的。此时当Whitted-Style Ray照射到粗糙表面就会发生反物理现象，

Whitted-Style Ray Tracing: Problem 2：

Whitted-Style Ray在照射到漫反射表面时会停止，直接进行着色计算，此时就会忽略物体与物体之间的漫反射光线。

而路径追踪就是为了解决Whitted-Style Ray Tracing的问题。

从渲染方程开始分析，因为渲染方程肯定是对的

此时，我们需要解出右边的定积分。考虑在某一个点p的着色，p点的光照来源于光源或者漫反射光，先只考虑来源于光源的光，

入射光L_i是从各方位的立体角w_i入射进来，然后经过prdf反射出去，使用蒙特卡罗积分求解，首先需要知道解出pdf，由于是对

立体角w_i进行积分的，对w_i在各个方向平均取值，即pdf为常数，w_i在半球方向上为2π，w_i为定积分区间。即从0到2π。

然后考虑从其他物体漫反射进来的光线，此时把p点作为摄像机，Q点作为着色点，也就是递归了

但此时会有第一个问题，在考虑一个点的着色时，我们会朝着各个方向来计算他们的光线，也就是说一根光线会转变成N个光线，然后在下一个点又会转变成N个光线，就是指数级爆炸了，为了解决这个问题，我们只能把N=1，这个时候就是Path Tracing了。

在实际操作时，从观测点向一个像素发出N跟光线，然后算出这N个光线的路径追踪后再求平均，即为该像素的着色结果，

此时也算是解决噪声大的问题。

第二个问题是上图中的代码停不下来，因为递归必须是要有停止条件的，在现实生活中的光线是会无限反弹的，但计算机不能模拟无限次反弹，

所以引进俄罗斯轮盘赌的概念来解决此问题，即每一根光线有一定的概率能反弹出去，反之就是不能弹射出去。

这个时候还有一个问题，当我们在一个像素上的采样率比较低的时候噪声会比较大，虽然高采样率会解决这个问题，但造成了性能的开销，我们希望

低采样率时也能有一个低噪音的效果。

原因是因为pdf的采样是在单位半球上对各个方向采样的，从单位球上向各个方向发出光线，但并不是每根光线都能达到光源上，

根据蒙特卡洛的原理，pdf并不是固定的，改变pdf来改变上面的情况，此时我们在光源上采样，就保证了每根光线都可以到达光源上。

但因为采样是在光源上，积分是在单位球的立体角上，就不符合蒙特卡洛积分

这时我们把dA转换成dw

得到最终的结果

还有一个小问题就是从着色点到光源之间是否有遮挡物，从着色点发出一条光线到光源，检查是否能不能直接到达光源

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