运筹学笔记13 两阶段法

引入两个人工变量x4,x5,各自追加到每个等式约束条件中。但是这样强制插入原来的等式约束条件中后，虽然说有单位矩阵了，但是有可能破坏原来的等式约束条件；

也有可能不破坏(如果最后的x4,x5算出来的值都为0的话)，如果有一个是正的大于零的，那么就破坏了原来的等式约束条件，也即原来的等式约束条件就不应该成立，或原来的

线性规划问题是没有可行解的，是不可行的。。

这样就引入了人工变量了，有一个单位矩阵了。但是也有可能破环原来的约束条件，所以要施加一个惩罚，在两阶段法中引入的惩罚是一个新的目标函数z1,其是新引入的人工变量的和，因为x4,x5是大于等于零的，所以二者之和的z1也是>=0的，也即是z1这个目标函数值的下届是0；当然z1求最小值的话，也有可能取0；如果z1为0的话，那么x4,x5就被迫只能是0；那么二者的引入就没有任何破坏作用。

引入目标函数的目的就是求把人工变量对等式约束条件的破坏作用，进行惩罚，采用新的目标函数的方式来进行惩罚的。这种方式和大M法似乎不同，其实是一样的。

除了原有的目标函数为，新引进的目标函数为z1,这就构成了辅助线性规划问题LPe。

下面就利用找到的初始可行基，B=(P4,P5)=I2,来继续进行。

此处要注意，写典式的时候，新增的目标函数z1中的x4,x5要用非基变量代替表示；

转轴时，原目标函数z所在的行也要参与。

 由上图可知，到此步为止，z1所在行的检验数一个时0，一个时-1，没有>0的数值，所以表格就对应着以z1为目标函数的辅助性规划问题的最优解的，

把最优解写出来后得到(0,2,7/4,0,0),两个人工变量全等于0，也即全部惩罚为0了，这就实现了我们最初最好的设想。这就表明原来的约束条件可行的，且同时我们得到的基变量x2,x3对应的基，应该是经过一系列操作得到的原始的初始可行基。所以到此，第一个阶段就完成了。第一个阶段是以z1为目标函数来完成的，但是z这一行目标函数也同时参与了运算，到目前，人工变量已经都惩罚为0了，所以转入第二个阶段。因为x4,x5已经被惩罚为0了，所以把x4,x5所在的列，以及z1这个目标函数所在的行，从这个单纯形表中去掉，因为他们的使命已经完成了。

进而得到了下图所示的缩减了的，变量和目标函数为最原始的线性规划问题LP。此时只需要对下图的表进行最优性的检验，再做进一步的工作。

而也正好赶上了，缩减后的表，此时的检验数正好是-1，我们也就可以直接据此写出最优解和最优值了。

到此，第二个阶段就结束了。这样就利用两阶段法求出来了最开始的LP的最优解了。此处需注意，此题的第二个阶段的

一开始就对应着最优解，所以第二个阶段实际上没有进行；如果在第二个阶段的一开始仍然有正的检验数，也还是需要转轴的。

另外，上图中的最后一行写错了，应该是最优值是-3.

此题，因为引入的两个人工变量x5=1,x6=0,也即原来LP的等式约束条件，是不应该成立的，矛盾的。从而线性规划问题是不可行的。

这就是人工变量没有被完全惩罚为0，就出现了这种不可行的情况，这个时候还用在往下做吗？不用了，第二个例子也就完成了。

第三个例子如下，要注意下面的这个并不是标准形；

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