1 定义
迹运算返回的是矩阵对角元素的和：
T r ( A ) = ∑ i A i i Tr(A)=\sum_iA_{ii} Tr(A)=i∑Aii
若不使用求和符号，有些矩阵运算很难描述，而通过矩阵乘法和迹运算符号可以清楚地表示。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵Frobenius范数的方式：
∣ ∣ A ∣ ∣ F = T r ( A A T ) ||A||_F=\sqrt{Tr(AA^T)} ∣∣A∣∣F=Tr(AAT)
2 性质
用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式巧妙地处理表达式。例如迹运算在转置运算下是不变的：
T r ( A ) = T r ( A T ) Tr(A)=Tr(A^T) Tr(A)=Tr(AT)
矩阵提出常数后，迹是不变的：
T r ( k A ) = k ∗ T r ( A ) Tr(kA)=k*Tr(A) Tr(kA)=k∗Tr(A)
矩阵的迹的和等于矩阵和的迹：
T r ( A + B ) = T r ( A ) + T r ( B ) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)
多个矩阵相乘得到的方阵的迹，和将这些矩阵中的最后一个挪到最前面之后相乘的迹是相同的。当然，我们需要考虑挪动之后矩阵乘积依然定义良好：
T r ( A B C ) = T r ( C A B ) = T r ( B C A ) Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA) Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)
即使循环置换后矩阵乘积得到的矩阵形状变了，迹运算的结果依然不变：
T r ( A B ) = T r ( B A ) Tr(AB)=Tr(BA) Tr(AB)=Tr(BA)
证明： T r ( A B ) = T r ( B A ) Tr(AB)=Tr(BA) Tr(AB)=Tr(BA)
标量在迹运算后仍然是它自己：
a = T r ( a ) a=Tr(a) a=Tr(a)
有关偏导的性质
- ∂ T r ( A B ) ∂ A = B T \frac{\partial Tr(AB)}{\partial A}=B^T ∂A∂Tr(AB)=BT
证明：
∂ T r ( A B ) ∂ A = ∂ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j b j i ∂ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n b j i = B T \frac{\partial Tr(AB)}{\partial A}=\frac{\partial \sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{ji}}{\partial\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}}=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^nb_{ji}=B^T ∂A∂Tr(AB)=∂i=1∑mj=1∑naij∂i=1∑mj=1∑naijbji=i=1∑mj=1∑nbji=BT
- ∂ T r ( A B A T C ) ∂ A = C A B + C T A B T \frac{\partial Tr(ABA^TC)}{\partial A}=CAB+C^TAB^T ∂A∂Tr(ABATC)=CAB+CTABT
证明：
∂ T r ( A B A T C ) ∂ A = ∂ T r ( A T C A B ) ∂ A = ∂ T r ( A C T A T B T ) ∂ A = C A B + ( B A T C ) T = C A B + C T A B T \frac{\partial Tr(ABA^TC)}{\partial A}=\frac{\partial Tr(A^TCAB)}{\partial A}=\frac{\partial Tr(AC^TA^TB^T)}{\partial A}=CAB+(BA^TC)^T=CAB+C^TAB^T ∂A∂Tr(ABATC)=∂A∂Tr(ATCAB)=∂A∂Tr(ACTATBT)=CAB+(BATC)T=CAB+CTABT
今天的文章矩阵迹的性质 tr(aba’)=tr(aa’)_矩阵求迹需要化简吗[通俗易懂]分享到此就结束了，感谢您的阅读，如果确实帮到您，您可以动动手指转发给其他人。
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://bianchenghao.cn/59194.html
