HDU——2084 数塔（入门DP题，附dp详细思路）

原题链接： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

测试样例：

Sample Input
1
5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5
Sample Output
30

解题思路： 这是一道简单的DP问题，我们写这种题目通常有四步骤：

1. 刻画一个最优解的结构特征（即找状态并刻画）
2. 递归定义最优解的值（不是代表递归计算，而是找状态转移方程）
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

那么对于这道题，我们按步骤来，我们要求的是从顶层走到底层的最大结点之和。路径要求为每次只能走相邻的结点。那么我们用$dp[i][j]$来刻画第$i$行第$j$列的状态，即走到此结点的最大结点之和。那么对于这个结点它是由什么来决定的呢？我们发现，剔除特殊情况（这些点我们都要进行特判），走到这个结点是可以通过其他两个状态过来的：$dp[i-1][j]$和$dp[i-1][j-1]$过来的，同样它们代表的也是最大结点之和，那么我们的状态转移方程就显而易见了：$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+nums[i][j])$，其中$nums[i][j]$表示当前结点的数值。列出状态转移方程之后，我们自然可以计算最优解了，对于初始状态，即在第一行的时候，最大结点之和就是它自己。OK，具体看代码。（这并不是最优解法，具体看后面）

AC代码：

/* *邮箱：unique_powerhouse@qq.com *blog:https://me.csdn.net/hzf0701 *注：文章若有任何问题请私信我或评论区留言，谢谢支持。 * */
#include<bits/stdc++.h> //POJ不支持

#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)//i为循环变量，a为初始值，n为界限值，递增
#define per(i,a,n) for (int i=a;i>=n;i--)//i为循环变量， a为初始值，n为界限值，递减。
#define pb push_back
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;//无穷大
const int maxn = 1e2+2;//最大值。
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<ll, ll>  pll;
typedef pair<int, int> pii;
//*******************************分割线，以上为自定义代码模板***************************************//

int dp[maxn][maxn];//为了节省空间，我们这里可以用dp来存储输入数据。
int n,t;
int main(){ 
   
	//freopen("in.txt", "r", stdin);//提交的时候要注释掉
	IOS;
	while(cin>>t){ 
   
		while(t--){ 
   
			cin>>n;
			rep(i,1,n){ 
   
				rep(j,1,i)
					cin>>dp[i][j];
			}
			//从第一行开始进行状态转移
			rep(i,2,n){ 
   
				rep(j,1,i){ 
   
					//特判，处于边界只有一条路能到。
					if(j==1){ 
   
						dp[i][j]+=dp[i-1][j];
					}
					else if(j==i){ 
   
						dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
					}
					else
						dp[i][j]+=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]);
				}
			}
			int ans=0;//由于最终状态有多个，我们仍需找出最大值。
			rep(j,1,n){ 
   
				ans=max(dp[n][j],ans);
			}
			cout<<ans<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

我们这里是从上到下的，那么到最终状态是有多个，这并不是我们想要的状态，那么我们是否可以从下往上呢？当然可以，我们自然可以逆向思维。这样的好处就是我们在到达最终状态后只有一个，这个就是全局最优解，且我们不用考虑边界，因为从下往上始终有两条路。OK，我们只要更改转移方向即可。

优化AC代码：

/* *邮箱：unique_powerhouse@qq.com *blog:https://me.csdn.net/hzf0701 *注：文章若有任何问题请私信我或评论区留言，谢谢支持。 * */
#include<bits/stdc++.h> //POJ不支持

#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)//i为循环变量，a为初始值，n为界限值，递增
#define per(i,a,n) for (int i=a;i>=n;i--)//i为循环变量， a为初始值，n为界限值，递减。
#define pb push_back
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;//无穷大
const int maxn = 1e2+2;//最大值。
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<ll, ll>  pll;
typedef pair<int, int> pii;
//*******************************分割线，以上为自定义代码模板***************************************//

int dp[maxn][maxn];//为了节省空间，我们这里可以用dp来存储输入数据。
int n,t;
int main(){ 
   
	//freopen("in.txt", "r", stdin);//提交的时候要注释掉
	IOS;
	while(cin>>t){ 
   
		while(t--){ 
   
			cin>>n;
			rep(i,1,n){ 
   
				rep(j,1,i)
					cin>>dp[i][j];
			}
			//从第最后行开始进行状态转移
			per(i,n-1,1){ 
   
				rep(j,1,i){ 
   
					//无需特判
					dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);
				}
			}
			cout<<dp[1][1]<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

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